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傅立叶级数篇1:傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法
最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到“傅里叶级数”了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。
1. 什么是投影
我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？
我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv 这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。
（1）
2. 向量在一组正交基上的展开
在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式
（2）
从图上来看，(2) 式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以 (2) 式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式：
（3）
3. 傅里叶级数的几何意义
现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把 (1) 式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：
（4）
其中系数表达式如下：
（5）
我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，
（6）
这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner product）为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间 [a,b] 上的两个实函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为
（7）
正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。
现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的所有系数马上可以轻松的写出：
（8）
值得注意的是，(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是 [-l,l] 还是 [0,2l]，答案都是一样的。
有同学会说，老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1，cos(nπx/l)，或 sin(nπx/l), 然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。
熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：
（9）
其中系数表达式如下：
（10）
这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数，
（11）
我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b] 上的两个复函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为
（12）
其中v加上划线意思是它的共轭。(10) 中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。
现在我们同样可以把原函数分别投影到 (11) 中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”，也就是系数cn：
（13）
这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。在一个有限维的向量空间，给定任何向量都可以被一组基展开，它可以不必是正交的，这个时候展开项中的系数（也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标）需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候，这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出，也就是 (1) 式。同样的，在无限维的函数空间，我们可以把一个函数在某个“基”中展开，但是只有在“正交基”中，展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。
最后做一个总结，不管是向量 u 还是函数 u，他们都可以被一组正交基{vn：n=1,...,N}（有限个向量）或{vn：n=1,...,∞}(无限个函数）展开如下:
（14）
上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而 (14) 式中内积的定义视
情况而定，在有限维的向量空间（实数域），向量 u 和 v 的内积是点积 uTv；在无限维的函数空间，函数 u(x) 和 v(x) 的内积的通用形式是 (12)，如果它们是实函数，那么 (12) 就可以简化成 (7) 的形式。
我们可以看到，用几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为我相信所有人都能理解投影的概念；同时，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系，尝试着用不同的角度去看待同一个问题，我相信这么做是很有好处的。
陈宇航
写于2013年3月23号
转载请注明出处。
后记（写于2013年3月28号）：
这篇文章的核心思想其实是来自MIT的教授 Gilbert Strang 写的《Introduction to Linear Algebra》这本书（第三版）。我在好几个月前重新学了一遍线性代数，就是看 MIT的开放课程，授课老师是 Gilbert，他用的书就是上面提到这本。我从没有如此享受过数学课。以前学的数学课似乎老师更注重数学运算和推导，而不是讨论数学背后的本质。Gilbert 的讲课方式讲究原理，也就是 "why”，而不是 "how”，同时也有非常有趣的应用。有兴趣的同学可以去听听这门课。对于这篇文章提到的从几何观点来看傅里叶级数的思想，相关内容可以在书本最后关于傅里叶级数的讨论中找到。值得注意的是，Gilbert 默认函数周期是2PI，而且没有涉及复数形式。这篇文章主要是把几何投影与傅里叶级数的概念整合在了一起，考虑了一般的周期函数，同时涉及了傅里叶级数的复数形式，希望能对一些朋友有所帮助。
傅立叶级数篇2:傅里叶级数的数学推导
傅里叶级数的数学推导
首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。
但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。
如下就是傅里叶级数的公式：
不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π,
π]，也相当一个周期T的宽度。
能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：
１、把一个周期函数表示成三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：
f(x)=A
sin(ωt+ψ)
这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。
然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An
sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）
这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。
应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。
于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形：
这样，公式５就可以写成如下公式６的形式：
这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。
２、三角函数的正交性：
这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。一个三角函数系：1，cosx ,
sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , …
如果这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零，就说三角函数系在区间[-π,
π]上正交，即有如下式子：
以上各式在区间[-π, π]的定积分均为0，第１第２式可视为三角函数cos和sin与１相乘的积分；第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外，不可能再有其他的组合了。注意，第4第5两个式中，k不能等于n，否则就不属于“三角函数系中任意两个不同函数”的定义了，变成同一函数的平方了。但第3式中，k与n可以相等，相等时也是二个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来验证其正确性，第4式中二函数相乘可以写成：
可见在指定[-π,
π]的区间里，该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。
３、函数展开成傅里叶级数：
先把傅里叶级数表示为下式，即⑥式：
对⑥式从[-π, π]积分，得：
这就求得了第一个系数a0的表达式，即最上边傅里叶级数公式里的②式。接下来再求an和bn的表达式。用cos(kωt)乘⑥式的二边得：
至此，已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么⑥式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上，如果能够写出⑥式，不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。
综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步：
1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示，即5式；
2、通过变形后用三角级数（含sin和cos）来表示；
3、通过积分，把各未知系数用f(t)的积分式来表达；
4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。
在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。
傅立叶级数篇3:【学渣告诉你】到底神马是傅里叶级数！！！！！！
作为一个KB到极点的前T大垫纸系的学渣男孩纸，尼玛学傅里叶级数/变换的时候纯粹桑不起啊！！！！
本日志的参考文献为：陈宇航：《傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法》http://blog.renren.com/share/343320656/15540620254
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好了言归正传！
我们的提纲如下：
1. 为什么我们要分解一个函数
2. 傅里叶级数就是三角级数
2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量
2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。
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你是大学生吗？你学理工科吗？你还不知道傅里叶级数吗？你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗？你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧？展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数。他们是对一个函数的不同的【展开】方法。
【相信我，傅里叶分解其实巨简单！】
#【但是最开始的问题一定是：我们为什么要展开一个函数？？？？！！！！！
一个函数：
y=1
他的泰勒展开是神马？还是y=1。
那么y=x的展开呢？
是y=x。
我们知道，泰勒展开是把函数分解成1, x, x^2, x^3, …等等幂级数的【和】。
就是【把一个函数变成几个函数的和】啊！！！这个展开的式子就是泰勒级数啊！！！
对函数的展开和5 = 2+3 一样一样一样的啊！！！要多简单有多简单有木有啊！！！
但是你要注意啊：
【展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀！】
你还记得sinx 的泰勒展开是什么吗？ sinx = 0+ x – 1/3!x^3 + 1/5!x^5 -…
（如果系数错了可千万不要吐槽啊啊啊，lz是学渣记系数记不住啊！！！！）
【那么现在提问：】你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里：
因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀呀呀！
这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊！！！
所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到123456789阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。一句话，【变化就是导数啊】！！！
【泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！！】
所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊！！！
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喂！！！不要再跑题啦啦！！我们是要说傅里叶级数的好不好！！！！
你不认识傅里叶？没有任何关系，但是你见过三角形吗？知道三角函数吗？
傅里叶级数又叫三角级数啊。一句话就是【把一个函数y拆成三角函数的和】啊啊！！
神马，你还记得神马是三角函数吗？sinx,cosx等等。
那马展开成三角级数，简单！
y = sinx + sinx^2 + sinx^3… 是这样吗？？？？
【楼主，这样真的没有问题吗？？？】
【原谅楼主吧，上面的式子是错的！！！！！！】
当当当当！！下面才是傅里叶级数：：：
y= 1 + sinx +cosx +sin2x + cos2x + …..
【这才是傅里叶级数！！！】
喂喂喂，这都是神马呀？【凭神马能拆成三角函数的和呀呀！！！】【为什么要是sinx、sin2x…呀呀呀！！！】
亲，你知道的！只有【周期】函数才有傅里叶级数嗷嗷！！也就是说只有周期函数可以拆成三角函数的和呀呀！！
【神莫】你要问非周期函数肿么办？那你就要去了解【傅里叶变换】了。我变我变我变变变。任何一个比较正常（没有间断点的函数），基本上都可以进行傅里叶变换呀呀呀！！（←_←这句话的严谨性我才不保证【严谨】性）
好好好。我们就来解释一下傅里叶级数的形式：
我们来说一下【为什么要把周期函数拆成三角函数的和】这也是和【为什么要把一个函数拆成幂级数的和】一样本质的问题。
好，周期函数总有周期吧。
比如说，你在学唱歌，喊了一秒，歇一秒，再喊一秒，歇一秒。。。。你就一直从历史喊到了未来，永不停歇。这样你的发声便是一个周期为2秒的方波。（假设你的气息平稳，喊的声音大小是不变的，噢这真是难为你了。）
就像这样：（只看上半部分！！）
画图的这玩意儿叫MATLAB。好NB的赶脚。
你以为你的声音就仅仅是周期为2秒的方波这么简单吗？大错特错！
告诉你！你的声音是很多个不同频率的正弦波组成的！！！（虽然你也可以认为方波而不是正弦波是组成世界的基础【哈哈这样的想法是对的！持有那样想法的人搞出来了沃尔什变换！就是用一系列周期为1/2^n的函数来模拟原来的函数。】）
那你知道你想知道为什么分解成三角函数的和（正弦波）那么重要吗？？
那是因为，我们知道，对于一个周期函数来说，和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢（比如说振动的快慢）。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的，光也是有频率的。
那么【频率就是这些物质的本质属性。】
（表忘了楼主成经是KB的垫纸男。。。）在电子学里，我们知道电容是隔直通交的。但是怎么一个“隔直通交”法呢？其实这就是电容对不同频率的电学量（比如电压和电流）的频率特性不同的体现。对于频率为0的电压，不论有多少电压，它的电流都为0，对于频率为为w（跟我一起念：【欧米茄】）的电压，会产生与w和电压U成正比的电流。所以说我们要把一个函数分成不同频率的分量。
【喂喂喂先等等，分解成不同频率没问题，那凭什么是正弦/余弦的频率呀！！！】
【废话】因为正弦/余弦函数是【二阶偏微分方程】（就是含有电容等元件的电路方程）的【本！征！解！】。
【多说一下。。】这个世界上只有两种东（函）西（数）能够满足给自己求二阶导还是这种函数自己本身（仅相差常数系数和正负号），一种就是e^x，另一种就是sinx、cosx。（后人又在复数域里统一了他们成为e^z = e^x * e^yi)）别问我为什么。。。要问就问【e是什么】和【什么是欧几里得空间/为什么勾股定理成立】
所以呢，对于一个一般的物理量（电学量）来说，它可能不是正弦函数/余弦函数。但他们都是可以拆成不同频率的三角函数的组合的。【最为最为重要的是】，对于某种单频的三角函数，电路系统（或者多数其他物理系统），对【某种频率】的三角函数的输入的【【【响应】】】还是【同频率】的三角函数，只可能是相（前）位（后）或者幅（大）度（小）发生变化。【骚年！你终于知道神马叫上面说的【二阶偏微分方程的【本！征！解！】了吧！！只有e^x 和coswx, sinwx 响应才会是形式不变的呀呀！！】
好好好，又废了不少话。不过我们已经大工告成一半了。
【我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和】 【而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】，所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】（这叫什么，这就叫频域分析，这就叫信号与系统！！）【我们又说多了摔。。】
我们回来看看下面这个真实的例子，这也是一个方波（只不过它是从正到负的，相当于我们之前的方波下移了1/2A【A是幅度】），下面好好欣赏一下彩图吧！我们可以看出来，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x组成的。我们如果把一个方波放到一个电路里的话，它出来的绝不是方波，但却是对sinx,sin3x,sin5x,sin7x…分别的反馈的叠加（分别是系统对sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反馈的叠加…）。
再回来看看我们的傅里叶级数的公式吧：
好复杂啊有木有！！！
【尼玛这样的数学就是唬人的！！！】
公式里的l是周期的一半（或者说周期是2l）。
用这个式子我们就可以表示周期是2l的【各种样子】的周期函数。就像我们上面的方波那样。而1/2l就是它的【基频】。之所以所有的频率都是【基频的倍数】那是因为它要符合【（周期性）边界条件！！】
好吧可是为什么又有cosx又有sinx？？！好难看的公式有木有！！
其实分明就应该是
f(x) = a0 + A1sin(w1x + phi1) +A2sin(2w1x +phi2) + …
【不】【要】【把】【相】【位】【拆】【开】呀好不好，还弄个an、bn搞得一团糟啊啊！
但是你把相位拆开了就是上面的式子啊啊啊！！
但你要知道，这个【相位是多少】【我们是不知道的】，为了求相位我们需要把每一个频率（k）的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出来啊啊，所以ak和bk这两个系数合起来才能搞清楚Ak和phik啊！！
【一句话，傅里叶级数就是】
把周期函数拆开成 常数（直流分量）+一倍频分量+2倍频分量+…这么简单的一件事啊啊！！
#【可是拆开的每个分量的大小我还不知道啊啊！！】
你要告诉我系数a0 a1 a2 a3 b1 b2 b3都怎么算啊啊！！！
怎么算，拿【投影】算啊啊！！你没学过函数的投影你还没学过向量的投影吗啊啊！！
向量的投影是直接用a·b啊啊。函数的投影是神马？是下面这个东东啊啊！！
【一个函数u和一个函数v的内积】就是他们俩相乘，然后在全区间上积分啊！
可不可以说人话！！！【神马！让我说人话？？！！要把我搞疯掉是不是！！】
在周期函数里区间端点a和b就是任何一个长度为2pi的区间端点啊啊，我们一般取的是好算的0和2pi，你要取-pi和pi是一样一样的，因为他们都是周期重复的啊啊。
为神马要积分搞不懂啊啊，积分就是就是【累加】啊啊，你把两个函数在每一个对应点x上面都相乘了然后取个积分就是对两个函数所有的a到b上的函数值做乘积再累加啊啊！！
那么我们把【u取f(x)】，把【v分别取1，sinx, sin2x, sin3x, …, cosx, cos2x, cos3x,…】 这就是【做投影】就能【得到每一个频率的各自部分的分量大小】啊！！
为什么像【这样做内积】就可以呢？？
当当当当，这里出来了一个重要的概念，大名鼎鼎的【完备【单位】正交基】啊啊！【尼玛劳资被线性代数虐过一千遍对这个词汇那是刻骨铭心啊！！】
【完备】是说你用1，sinx, cosx, sin2x, cos2s, sin3x, cos3x, …【完全】能够【把一个函数f(x)表示】出来啊（就像用1, x, x^2, x^3 …可以表示f(x) 是一样的）。
那【蒸（正）饺（交）】又是神马呢？【正交】就是说他们两两都【不】【相】【关】啊！！
你看下面的式子（积分号这么写你还一定看得懂啊啊！！）
S(0,2pi) [1 * sinx dx] = 0 。
S(0,2pi) [sinmx * cos nx] = 0 。
S(0,2pi) [sinmx * sin nx] = 0
两两相乘在区间内累加都等于零啊！！
不要问我为什么刚刚好都等于零，这个问题我只能回答【世】【界】【真】【奇】【妙】啊啊！！
【喂喂喂，两两不相关还没完，单位正交基还要求每一个的长度为1你都忘了喂！！！】
S(0,2pi) [1 * 1 dx] = 2pi 【打叉叉】不是【单位正交基】
S(0,2pi) [sinkx * sinkx dx] = pi 【打叉叉】不是【单位正交基】
【都。。。。。不等于一。。。。就把它变成一！！！！】
S(0,2pi) [1/sqrt(2pi) * 1/sqrt(2pi) dx] = 1
S(0,2pi) [1/sqrt(pi)sinkx * 1/sqrt(pi)sinkx dx] = 1
所以你懂不懂啊，傅里叶分解真正的基底是下面这些啊啊！！
1/sqrt(2pi)、1/sqrt(pi)sinx、1/sqrt(pi)cosx、1/sqrt(pi)sin2x、1/sqrt(pi)cos2x…
我告诉你你之所以【把f(x)和上面的任何一个相乘再再去取积分】就【得到了某一个的系数】是因为你在积分的时候其实把其他的基底的分量都【积掉了】了呀呀！！【就像你面前放了一个番茄一个黄瓜你拿一个红色的眼镜一看！黄瓜木有啦啦啦！！！或者如果你要看黄瓜你就换一个绿色的眼镜！！！番茄木有啦啦啦！！！这样说还不明白吗！！！】
那你知道了【周期为2l】的单位正交基就是：
1/sqrt(2l)、1/sqrt(l)sinx、1/sqrt(l)cosx、1/sqrt(l)sin2x、1/sqrt(l)cos2x…啊！！
你要算系数还是用f(x)和每一个相乘再求积分就出来了啊！！傅里叶分解就是这么简单啊啊！！
我们用最简洁的几张图重放一遍：
傅里叶级数就是把f(x)拆成不同频率三角函数的和：
用内积的方法分解出每一个分量的系数：
下面更直接地写出了怎么用内积的方法计算系数【骚年，有木有看到啊，非单位化的基底有多么难看啊！！】
我该说的都说完了，你到底懂没懂啊！！（没懂的自行在下面默默留言。。）
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关于复数形式e^jx的傅里叶级数，
以及对于非周期函数的傅里叶变换，
同样是“【很简单】”的事情。
但是里面分别涉及到了【对e^jx的理解】（以及对欧拉公式的探讨）和对【离散与连续的分析】。lz还没有准备好。所以这里就先写这么多了。不过有一点确定的是，使用复数形式的傅里叶级数和傅里叶变换是比三角形式的傅里叶级数要“简化先进”的。以及傅里叶变换本来不应该用从傅里叶级数逐渐演变的方式引入的。欢迎探讨。敬请期待。
致谢：
感谢万门大学打开了知识分享的大门，感谢作者陈宇航提供的公式图片。
@万门大学教育系
fangyang08
13.3.26-27
