动态平衡问题

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【一】:解决动态平衡问题

第五课时 解决动态平衡问题

编制：傅建锋 审核：杨博昌 王连东 审批：李成伟

所谓动态平衡问题，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，分析动态平衡问题通常有两种方法。

1. 解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出函数关系式，

然后根据自变量的变化进行分析，得出结论

例1：如图所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（ ）

A. 绳子的拉力F不断增大

B. 绳子的拉力F不变

C. 船所受的浮力不断减小

D. 船所受的浮力不断增大

练习1.如图所示，两相距L的竖直杆，用一根长度大于L的细绳分别固定在杆的A、B两点，细绳上用一光滑的挂钩吊一个重物，其重力为G.当上下移动B端的悬挂点时，G可自由移动，设重物两侧绳子的张力分别为FA和FB，则它们的关系满足

A.FA>FB B.FA<FB

C.FA=FB D.条件不足，无法确定

2.半圆形支架BAD，两细绳OA和OB结于圆心O，下悬挂重为G的物体，使O点位置固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的

过程中，如图所示，分析OA绳OB绳所受的力大小如何变化。

2.图示法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形或三角形法则画出不同状态下力的矢量图（画在同一图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。

例2：. 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？

例3. 如图4所示，空气中有两个带电小球A和B，A被边长为L的绝缘细线悬于固定点O；B被绝缘支架固定于O点的正下方，与O点的距离为L，与A球相距为d1。由于漏电，过一段时间后，A的带电量变为原来的4/9，B的带电量变为原来的2/3，试求此时A、B两球间的距离。

练习 3. 如图7所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，保持重物的位置不变。现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C移动，在这过程中，OB绳中的张力TB的最小值是多少？

4. 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是（ ）

A、N变大，T变小 B、N变小，T变大

C、N变小，T先变小后变大 D、N不变，T变小

5. 三根细线AO、BO、CO系一重物质量为m如图所示。当A点缓慢上移，且保持O点不动，三根绳上的张力如何变化？如果只有B点缓慢向右移动，且保持O点不动，三根绳上的张力又如何变化？

方法总结：

动态平衡问题的解题方法

（1） 图解法：对研究对象进行受力分析，用平行四边形定则或三角形定则画出不同状态

下的矢量图，再根据有向线段长度的变化判断各力的变化情况，一般情况下推荐使用这一方法。

（2） 解析法：对研究对象的任一状态作受力分析，列出平衡方程、写出函数关系，再根

据自变量的变化进行分析，得出结论。

【二】:平衡问题(动态平衡问题)

优质讲义

【三】:动态平衡受力分析专题

专题 动态平衡中的三力问题 图解法分析动态平衡

在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。

方法一：三角形图解法。www.shanpow.com_动态平衡问题。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是

其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的

矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，

各力的大小及变化就一目了然了。

例1.1 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光

滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的

不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今

使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，

挡板和斜面对球的压力大小如何变化？

解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

同种类型：例1.2所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量

为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，

绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球

的支持力增大）

方法二：相似三角形法。

特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，

且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与

力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例2．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端

挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉

住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角

θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情

况是( )

A．FN先减小，后增大 B.FN始终不变

C．F先减小，后增大 D.F始终不变

解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封

闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对

应边成比例可得：(如图2-2所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l,)GFNF，式

HLl

中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项B

同种类型：如图2-3

所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光

物理专题四 第1页

图2-3

滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( D )。

(A)N变大，T变小， (B)N变小，T变大 (C)N变小，T先变小后变大 (D)N不变，T变小

方法三：作辅助圆法

特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

例3、如图3-1所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变(90)，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（ ）。

(A)F1先减小后增大 (B)F1先增大后减小 (C)F2逐渐减小 (D)F2最终变为零

解析：取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的

拉力，如图3-2所示分别为F1、F2、F3，将三力构

成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，

需满足力F3大小、方向不变，角∠ CDE不变(因

为角α不变)，由于角∠DCE为直角，则三力的几

何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢

量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的

三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终

减小，且转过90°时，当好为零。正确答案选项为B、C、D

另一种类型：如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个

测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时α+β= 90°．然后保持M的读数

不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。

(A)减小N的读数同时减小β角 (B)减小N的读数同时增大β角

(C)增大N的读数同时增大β角 (D)增大N的读数同时减小β角

方法四：解析法

特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。当受力动态变化是，抓住绳长不变，研

究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。 例4．如图4-1所示，在水平天花板与竖直

墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的

轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，

OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：

（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，

绳中张力如何变化？

（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，

绳中张力又如何变化？

解析：取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于

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D点，由于是同一根轻绳，可得：F1F2，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。设角∠

OAD为θ；根据三个力平衡可得：F1G2sin ；在三角形AOD中可知，sinOD。

AD

如果A端左移，AD变为如图4－3中虚线A′D′所示，可知A′D′不变，OD′减小，sin

减小，F1变大。如果B端下移，BC变为如图4－4虚线B′C′所示，可知AD、OD不变，

sin不变，F1不变。

同种类型：如图4－5所示，长度为5cm的细绳的两端分别系于竖立地面上相距为4m

的两杆的顶端A、B，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着一个重12N的物体，

平衡时绳中的张力多大？

专题训练

1．半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的

物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置缓慢移到

竖直位置C的过程中（如图），分析OA绳和OB绳所受力的大小如何变化。

2．如图，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保

持O点的位置不变，则A点向上移动时（ ）

A．绳OA的拉力逐渐增大 B．绳OA的拉力逐渐减小

C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大

3．如图，用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上，当绳伸长时（ ）

A．绳的拉力变小，墙对球的弹力变大 B．绳的拉力变小，墙对球的弹力变小

C．绳的拉力变大，墙对球的弹力变小 D．绳的拉力变大，墙对球的弹力变大

4．如图，均匀光滑的小球放在光滑的墙壁与木板之间，图中30，当将角缓慢

增大至接近90的程中（ ）

A．小球施于木板的压力不断增大

B．小球施于墙的压力不断减小

C．小球对墙壁的压力始终小于mg

D．小球对木板的压力始终大于mg

5．在共点力的合成实验中，如图，使弹簧秤b按图示的位置开始顺时针方向缓慢转90角，

在这个过程中，保持O点位置不动，a弹簧秤的拉伸方向不变，则整个过程中关于a、b弹簧

的读数变化是（ ）

A．a增大，b减小 B．a减小，b减小 C．a减小，b先减小后增大 D．a先减小后增大

6.如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN１，球对板的压力为FN2．在将

板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（ ）

A．FN１和FN2都增大B．FN１和FN2都减小 C．FN１增大，FN2减小 D．FN１减小，FN2增大

7．如图所示，重为G的光滑球系在一细绳上，细绳通过一小滑轮向水平方向拉球，使它沿

光滑墙面缓慢上升．球在上升过程中，拉力T和压力N的大小如何变化（ ）

A．T和N都增大 B．T和N都减小 C．T增大，N减小 D．T减小，N增大

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