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磁场运动篇1:带电粒子在磁场中运动情况的讨论
带电粒子在磁场中运动情况的讨论
陕西省西乡县第二中学物理教研组 刘玮
带电粒子在磁场中的运动问题是高三物理复习教学的重点、难点，也是历年高考的热点问题。要想在有限的考试时间内快速准确求解这类问题，需要有扎实的基础知识和较强的综合分析能力。如果能掌握带电粒子在磁场中运动情况的基本类型及相关问题的解法，就可成竹在胸、从容应试。基于考纲要求，本文只讨论带电粒子（不计重力）在匀强磁场中垂直磁场方向的几种运动情况。
一、带电粒子在无界磁场中的运动（以下所画都是垂直磁场方向的截面图）
如图1，空间存在无边界的匀强磁场，磁感应强度为B，带电荷量为q、质量为m的带电粒子以垂直于B的速度v运动，它所受洛仑兹力提供向心力，作完整的匀速圆周运动。轨道半径为r、运动周期为T，则
得
若粒子从C点运动到D点所用时间为t，则
得
二、带电粒子在有界磁场中的运动
（一）有单平面边界的磁场
如图2，直线MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。带电粒子由边界上P点以图示方向进入磁场，在磁场内做部分圆周运动，将以关于边界对称的方向从Q点射出。则有
几何关系：PQ＝
当＜900时，θ＞1800，轨迹为一段优弧，圆心在磁场中。
当＝900时，θ＝1800，轨迹为半圆周，圆心在线段PQ的中点。
当＞900时，＜
1800，轨迹为一段劣弧，圆心在磁场外。
总结：这类问题中要特别注意出入磁场的速度方向关于边界对称的特点。更重要的是要能用“动态”的观点分析问题，即当粒子速度大小一定从P点进入方向变化时，粒子在磁场中的运动轨迹、运动时间、出磁场的位置都随之变化，但轨迹半径不变，所有可能轨迹的圆心应分布在以P点为圆心、为半径的半圆上。若带电粒子从P点射入时速度大小变化而方向一定时，粒子在磁场中的运动轨迹、轨迹半径、出磁场的位置都随之变化，但运动时间和偏转方向不变，所有可能轨迹的圆心应分布在PO及其延长线上。
（二）有平行双平面边界的磁场（只讨论粒子垂直边界进入磁场）
1．当时（如图3中r1），粒子在磁场中做半圆周运动后由进入边界的Q1点飞出磁场。则有
几何关系：PQ1=2r1
粒子运动方向改变180°。
2．当时（如图中），粒子将从另一边界Q2点飞出磁场。则有
几何关系：
粒子运动方向改变。
总结：这类问题要特别注意粒子能否出另一边界的临界条件。还有正三棱柱面边界磁场、正四棱柱面边界磁场的问题，其分析方法与上面相似。
〔例题〕：如图4，有很多质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以等大速度从P点沿垂直于磁场的不同方向连续射入磁感应强度为B、磁场宽度为d的匀强磁场中，求解下列问题：
要使粒子不从右边界射出，粒子速度大小应满足的条件是什么？
若粒子恰好不从右边界射出，这些粒子在磁场中所能到达的区域的面积是多少？
若所有粒子都从P点垂直左边界进入磁场并从右边界Q点射出，速度方向改变角，求粒子的速度大小和粒子的偏转距离？
解析：根据题意画出粒子运动轨迹如图4。
由牛顿第二定律得
……………①
要使粒子不从右边界射出，应有
…………………②
联立①②式解得
若粒子恰好不从右边界射出，应有
此时粒子在磁场中所能到达的区域的面积为：
（3）设此时粒子速度为V2，轨迹半径为，由题意及几何知识得
故有 ……………③
由牛顿第二定律得 …………④
联立③④式解得
粒子偏转距离为
（三）有圆柱面边界的磁场（磁场方向与圆柱轴线平行）
1．带电粒子对准磁场圆心射入磁场
如图5所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。则有如下关系：
物理关系： ， ，
几何关系： ，
特别地当时，，即粒子速度方向改变。
2．带电粒子不对准磁场圆心射入磁场
如图5所示，带电粒子从P点射入方向发生变化时，则轨迹圆心的位置随之变化。当粒子沿图6所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、方向偏转角最大。此时有：
联立以上四式可解得和，并由可求得入射方向角。
讨论：
（1）由图6看出，在轨迹半径和运动方向偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆即为以PQ为直径的圆。
（2）如图7所示，由几何知识很容易证明当时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。
总结：处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆。再如圆环形磁场区域问题可参考（二）、（三）的分析方法求解。
〔例题〕在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标原点不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
解析：由题意可得电子在磁场中做半径为的匀速圆周运动。沿轴正方向射入的电子做圆周运动后从Q点离开磁场，联想图7所示特点，若存在一半径为R、圆心在O1圆形磁场区域即可到达题意要求年，如图8所示。显然，符合条件的最小磁场区域应是圆O1、A1相交的部分。所以：
。
从以上分析讨论看出，带电粒子在磁场中运动问题实质上就是利用磁场控制带电粒子的运动方向。解决这类问题的关键是找到带电粒子运动轨迹的圆心，依据题意画出示意图，再综合运用物理规律和数学知识求解。
磁场运动篇2:通电导体在磁场里的运动
通电导体在磁场里的运动
实验装置如图19．14－1所示。
【方法】
1．五合板和1厘米厚的木板按图19．14－2所示尺寸钉一个桌形底板。 环保小制作http://www.llfxw.cn
2．将两块60×30×1毫米3的铜片或铁片按图19．14－3所示位置，小钉（嵌玻璃的）钉在底板上。
3．在底板上安装C、D两个接线柱（参见图19．14－3），取两段硬质铜导线，将其一端分别焊接在两铜片上，弯折后将另一端分别接在C、D两个接线柱上。
4．取一块130×20×1毫米3的铜片或铝片，在其一端的心部位锉一条20×4．2毫米2的槽口，然后弯折使其两面夹角为60°，成如图19．14－4的形状，把它直径4毫米的螺丝固定在底板上，做完磁铁支架，参见图19．14－1。
5．取直径2毫米的黄铜线或漆包线32×13厘米2的缺口矩形线框一个和边长11厘米的“V”形锤一个，并将“V”形锤焊在线框的一个短边上，如图19．14－5所示。
6．把蹄形磁铁橡皮筋固定在磁铁支架上，见图19．14－l。
7．把线框缺口处的两边分别放在底板的铜片A、B上，在线框的长边上固定一只硬纸片或硬塑料制成的红色箭头，于指示线框长边的电流方向。调节“V”形平衡锤的位置，使线框所在平面与水平方向成30°夹角，并且使线框的长边位于蹄形磁铁的磁极之间。
【方法】
将C、D接线柱分别导线跟4－6伏特的电池组的正、负极连接，电路接通时，线框长边在磁场运动。改变线框的电流方向，或改变磁场方向，线框长边的运动方向也改变。
磁场运动篇3:带电粒子在匀强磁场中的运动问题分析策略
带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。如从以上方法出发，再借助圆规或硬币从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型，下面以2010年高考试题为例进行分析。
一、旋转圆
模型特征
带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图1。解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
典例解析
例1（2010·全国1）如图2，在0≤x≤a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0°～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P（a，a）点离开磁场。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间
动态分析
由题知沿y轴正方向发射的粒子从磁场边界上P(a，a)点离开磁场，利用圆规或硬币可作出其轨迹图像如图3，由于粒子速度方向在0°～180°范围内，其它方向的轨迹可以通过旋转第一个圆得到（O点为旋转点），如图4。从图中可明显发现第2问第3问所涉及的粒子轨迹所在位置，利用几何关系便可解答此题。
解析：（1）初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图5中的弧所示，其圆心为C。由题给条件可以得出∠OCP＝ ①
此粒子飞出磁场所用的时间为t0＝ ②设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得 ③由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 ④ ⑤，联立②③④⑤式，得 ⑥
(2)依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧上，如图所示。
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN。由对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON的夹角均为π/3。设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN，由几何关系有θM＝ θN＝ ⑧，对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足 ⑨
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图6所示。由几何关系可知， ⑩，由对称性可知， ?，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间tm＝2t0 ?
跟踪练习
1．（2010·新课标）如图7所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小；
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
答案：
二、缩放圆
模型特征
带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或质量改变）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆，如图8。解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
典例解析
例2（2010·广东）如图10（a）所示，左为某同学设想的粒子速度选择装置，由水平转轴及两个薄盘N1、N2构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距为L，盘上各开一狭缝，两狭缝夹角θ可调(如图10（b）；右为水平放置的长为d的感光板，板的正上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度为B。一小束速度不同、带正电的粒子沿水平方向射入N1，能通过N2的粒子经O点垂直进入磁场。O到感光板的距离为，粒子电荷量为q，质量为m，不计重力。
（1）若两狭缝平行且盘静止，如图9（c），某一粒子进入磁场后，竖直向下打在感光板中心点M上，求该粒子在磁场中运动的时间t；
（2）若两狭缝夹角为θ0，盘匀速转动，转动方向如图9（b）。要使穿过N1、N2的粒子均打到感光板P1P2连线上，试分析盘转动角速度ω的取值范围（设通过N1的所有粒子在盘旋转一圈的时间内都能到达N2）。
动态分析
通过审题可知，此题是通过粒子轨迹的变化求粒子速度范围进而求圆盘角速度范围。粒子以不同的速率沿水平方向从O点射入磁场，做半径不同的匀速圆周运动，由左手定则确定这些圆的圆心都在OP1连线上，且以O点为切点，利用圆规任画一个圆，设想半径不断变大，很容易发现可以打在感光板上的粒子轨迹，找到两个边界轨迹，从而解答题目。
解析
（1）粒子运动半径为R＝ ①，由牛顿第二定律qvB＝m ②，匀速圆周运动周期T＝ ③，粒子在磁场中运动时间
（2）如图11，设粒子运动临界半径分别为R1和R2，⑥，设粒子临界速度分别为v1和v2，由②⑤⑥式，得若粒子通过两转盘，由题设可知，联立⑦⑧⑨，得对应转盘的转速分别为：，。所以粒子要打在感光板上，需满足条件：。
跟踪练习
2.（2010·全国2）图12中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里，图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域，不计重力。
（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。
（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点(图中未画出)穿出磁场，且GI长为a，求离子乙的质量。
（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。
思路点拨
此题是通过改变粒子质量实现轨迹的变化,求解粒子运动过程中的临界条件。
答案：
三、平移圆
模型特征
带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。如图13所示。
典例解析
例3（2010·浙江）有一个放射源水平放射出α、β和γ三种射线，垂直射入如图14所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感应强度大小B相等，方向相反(粒子运动不考虑相对论效应)。
（1）若要筛选出速率大于v1的β粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d与B和v1的关系。
（2）若B＝0.0034 T，v1＝0.1c（c是光速），则可得d；α粒子的速率为0.001c，计算α和γ射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除α和γ射线的方法。
（3）当d满足第(1)小题所给关系时，请给出速率在v1＜v＜v2区间的β粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。
（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的β粒子束在右侧聚焦且水平出射。
已知：电子质量me＝9.1×10－31 kg，α粒子质量mα＝6.7×10－27 kg，电子电荷量q＝1.6×10－19C，。
动态分析
此题是缩放圆和平移圆的结合应用。根据洛伦兹力提供向心力，β粒子顺时针旋转，当速度逐渐增大，轨迹半径在Ⅰ区域不断变大，当与交界处相切时，速度再增大则进入Ⅱ区域，由于两区域仅磁场方向相反，所以轨迹在两区域交界处外切，可通过圆的平移得到粒子运动轨迹，如图15所示。
解析：
（1）根据带电粒子在磁场中受洛伦兹力作用后做圆周运动的规律： ①
由临界条件得d、B和v1的关系为： ②
（2）由①式可得α粒子的回旋半径：由②式得：，竖直方向的距离为：。可见通过区域Ⅰ的磁场难以将α射线与γ射线分离．可用薄纸挡去α射线，须用厚铅板挡掉γ射线。
（3）在上述磁场条件下，要求速率在v1＜v＜v2区间的β粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向，先求出速度为v2的β粒子所对应的圆周运动半径：，该β粒子从区域Ⅰ磁场射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得从区域Ⅱ射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得，与速度为v1对应的β粒子垂直方向偏离的距离为：。速率在v1＜v＜v2区间射出的β粒子束宽为Y1－Y2，方向水平向右。
（4）由对称性可以设计出如图18所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。
小结
从以上分析可知，利用圆规、硬币从动态圆角度可快捷的解决复杂的带电粒子在匀强磁场中运动的相关问题，如临界值、多解等常见问题。这种方法简单易学，学生也能容易掌握规律。教学中发现学生对这种借助简单的道具解决问题的方法不仅充满了好奇心，解决问题的过程中充满新鲜感，而且在解决完问题后又一片惊叹：原来问题可以这样来解决！寓教于乐，给人以深刻的思维启迪。
