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数学的发展史篇(1):数学的发展历史概述
数学史研究证明：数学的发源地除古代非洲的尼罗河，还有西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河和恒河、东亚的黄河和长江。
知识简介：尼罗河－世界上最长的大河
尼罗河纵贯非洲大陆东北部，流经布隆迪、卢旺达、坦桑尼亚、乌干达、埃塞俄比亚、苏丹、埃及，跨越世界上面积最大的撒哈拉沙漠，最后注入地中海。流域面积约335万平方公里，占非洲大陆面积的九分之一，全长6650公里，年平均流量每秒3100立方米，为世界最长的河流。尼罗河——阿拉伯语意为“大河”。“尼罗，尼罗，长比天河”，是苏丹人民赞美尼罗河的谚语。古埃及人在这里创造出高度的文明。
世界三大河流：非洲尼罗河、南美洲亚马逊河、亚洲长江
中国第一大河——长江
长江的上源沱沱河出自青海省西南边境唐古拉山脉各拉丹冬雪山，干流全长6300公里。以干流长度和入海水量论，长江均居世界第三位。
长江流经青海、西藏、四川、重庆、云南、湖北、湖南、江西、安徽、江苏、上海，注入东海。
长江在湖北省宜昌市以上为上游，宜昌至江西省湖口间为中游，湖口以下为下游
长江流域是中国人口密集经济繁荣的地区，沿江重要城市有重庆、武汉、南京、上海。
长江在四川奉节以下至湖北宜昌为雄伟险峻的三峡江段（瞿塘峡、巫峡、西陵峡）
世界最大的水利枢纽工程三峡工程位于西陵峡中段的三斗坪（1994年12月14日开工，总工期17年）
中华民族的母亲河—黄河
黄河，发源于青海省巴颜喀拉山脉的约古宗列渠，流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、陕西、山西、河南、山东9个省区，最后于山东省东营垦利县注入渤海。
干流河道全长5464千米，仅次于长江，为中国第二长河,世界第五长河黄河从源头到内蒙古自治区托克托县河口镇为上游，河口镇至河南郑州桃花峪间为中游，桃花峪以下为下游.
数学的发展史一般分为四个时期（有很多分法），即数学的萌芽时期，古代数学时期，近代数学时期和现代数学时期。
一、数学萌芽时期（公元前6世纪以前）
1.“数”概念的产生
早在远古时代，人类就已具备了识别事物多少的能力。逐渐地，这种原始的“数觉”经过漫长的历史演进，发展并形成了“数”的概念。早期人类在对事物数量共性的认识与提炼中，获取数的概念，从而播下了人类文明史上的数学火种。大约发生于30万年以前的这一过程可能与早期人类对火的认识与使用一样悠久而漫长。数对于人类文明的意义决不亚于火的使用。
当对“数”的认识变得越来越明确时，人们开始对其表达萌生了一种冲动，于是就有了记数（实物记数、书写记数）的产生。
最早比较成功的计数方式可能来自于最方便的实物工具，那就是人类自己的手指。一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素的集合就有办法表示。
当十指不够用时，随处可见的石子便成了当然的替代与补充。但记数的石子堆，很难长久保存信息，于是又有了结绳记数和书契(qi)记数。
结绳记数是我国原始公社时期的一种计量方法，是原始公社时期社会生产力发展到一定程度，由于社会生活的实际需要而产生的。《周易·系辞下》：“上古结绳而治”。传说结绳记数，始于伏羲时代。西汉时曾经出现伏羲与女娲结绳的画像；在东汉武梁祠的浮雕上还刻有“伏羲仓精，初造王业，画卦结绳，以理海内”的铭文。
原始公社时期，代结绳记事而起的一种比较进步的计量方法是书契记数。《周易·系辞下》：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。“书”指文字，刻字在竹、木或龟甲、兽骨上以记数，称为“书契”。
结绳、刻痕之法大约持续了有数万年之久，才迎来书写记数的诞生。
大约距今五千年左右，人类历史上开始先后出现一些不同的书写记数方法（数字的产生）。随之逐步形成各种较为成熟的记数系统。如古埃及的象形数字（公元前3400年左右）、古巴比伦的楔(xie)形数字（公元前2400年左右）、中国的甲骨文数字（公元前1600年左右）以及中美洲的玛雅数字（约公元前1000年左右）。到公元前500年左右，人类关于书写记数的方法已经发展得相当完善，如古希腊数字、古罗马数字、中国的算筹数码。
在这些记数系统中，除了巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系。由中国人首创的十进位值制记数法，对人类文明尤其是一项特殊贡献。记数系统的出现使数与数之间的书写运算成为可能，在此基础上初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。
2.形概念的产生
与算术的产生相仿，最初的几何知识也从人们对形的直觉中萌发出来。史前人类首先从自然界本身提取几何形式，如注意到圆月与挺松在形象上的区别，并从圆月处获得圆形的感悟。他们还把自己的这种感悟再现于器皿制作、建筑设计和绘画装饰。（埃及陶罐）
经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展，不过在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同。
古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。
公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。
现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书（见上右彩图）；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。纸草书给出圆面积的计算方法、正四棱台体积的计算方法。
古巴比伦几何学是与实际测量有密切联系的。从许多具体例子可以看到，巴比伦人在公元前2000到1600年，就已熟悉了计算长方形面积、直角三角形和等腰三角形（也许还不知道一般三角形）面积，有一边垂直于平行边的梯形面积、长方形的体积，以及以特殊梯形为底的直棱柱体积的一般规则。
古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪就有对祭坛与寺庙建造中几何问题及其求解法则的记载。
在古代中国，几何学的起源更多地与天文观测相联系。至晚成书于公元前2世纪的中国数学经典《周髀（bi）算经》，就是一部讨论西周初年（公元前1100年左右）天文测量中所用数学方法的著作。不过在此之前，即夏禹治水之初，规矩准绳之用在中国已相当普遍。（伏羲规矩）
（四大文明古国简介：见视频）
附：古埃及文明
很少文明能够像古埃及人那样，在历史上留下如此永难消逝的记号。古埃及从公元3500年开始，经早王朝、古王国、中王国、新王国、后埃及和希腊、罗马统治时代，直至公元641年被阿拉伯人征服为止，先后持续了4000年的文明，为世界文明的发展作出了杰出的贡献。在这4000年里，古埃及经历了从分散、独立的城市国家到统一王国的历史阶段，又从统一王国发展到称霸亚非的古代世界第一大帝国，后被希腊、罗马、阿拉伯所征服。
（古埃及文明：见课件）
见证：卡拉克神殿是埃及规模最大的多元化神殿，为神殿王者。占地二十公顷。其中极品--埃及之柱,共十四双。
一、已走过从前：尼罗河入境埃及，贯穿南北。在他的孕育下，发热，发光。创造了埃及独特的文化，滋生了无穷的神秘与风采。在尼罗河迷濛的夜色中，浮现了炫丽的开罗之夜，充满浪漫与神奇。
梦妲(da)栅花园，一座充满土耳其与意大利风格的国王宫殿，为土耳其统治埃及时的国王避暑胜地。1922年，埃及独立后，即对外开放。这座国王宫殿已成为梦妲栅饭店。
“弥纳之家”大饭店为“开罗会谈”的场所。第二次世界大战结束前夕，公元1943年12月22日。中华民国(蒋中正)，美国(罗斯福)，英国(邱吉尔)三国元首在埃及首都开罗举行会谈。
二、永恒的沙漠:
巴哈利亚绿洲为游牧民族常驻之处
白色沙漠:撒哈拉沙漠分为三个区域：白色沙漠、黄色沙漠、黑色沙漠。此为白色沙漠一景。找不见人迹，见不到绿荫，摸不著甘露，闻不到烟火！体验唯一的灼热、炎阳。哈拉沙漠奇特的黑色沙漠:蔚蓝的天空下有黑色的山峦、黑色的地貌、黑色地毡。如似一幅梦幻中的奇景！
拉美西斯二世,在13世纪曾统治埃及长达67年之久
金字塔参考资料：在尼罗河的西岸，从开罗附近的吉沙 Giza
到上埃及的希拉康坡里斯一带，分布着大大小小近一百座金字塔．金字塔一词是中国人对古埃及的角锥体陵墓的形象化的称呼，因为这种建筑物的外形类似汉字中金字的外形．古埃及人称之為麦尔
Mr , 意為国王及其父太阳神升天的地方．至於现代西方通用的 Pyramid
一词来源於古希腊文的 Pyramis
，意為小麦饼，因為古希腊人见到金字塔，联想到他们吃惯的叁角形小麦饼，故名之．最早建造的金字塔是第叁王朝名建筑师伊姆霍太普(Imhotep)為其君主左塞王(Djoser)建造的，这就是有名的梯阶金字塔．最早按标準设计的金字塔是第四王朝斯尼弗鲁王的金字塔，座落在达赫舒尔(Dahshur)，不过，第一个并不成功，变成了弯曲金字塔，斯尼弗鲁王不满意，后来又建造了第二个，这次成功了，因為塔身用红色石灰石覆盖，所以人们称之為红色金字塔．斯尼弗鲁的儿子胡夫，在开罗近郊尼罗河的西岸吉沙(Giza)建造金字塔，塔高原146.5米（现减损為137.2米），基底边长230.38米（现减损為227.5米），角度為51度51分，塔身共计250层，以平均2.5吨重的230万块石材砌成，总计约570万吨重．因為这个金字塔最大，所以人们称為大金字塔．在大金字塔的东西南面，分佈着一些王妃的金字塔及王室人员的马斯塔巴．距离胡夫大金字塔160米处，有一座胡夫的儿子哈夫拉金字塔，这座金字塔着名处在於他有一个举世闻名的狮身人面像相伴；在哈夫拉金字塔西南200米处，还有一座孟考拉(Menkaure)金字塔，规模只有胡夫大金字塔的一半，这叁座金字塔，人们通称之為吉沙叁大金字塔．阿尔忒(te)弥斯神庙
附：中国传统数学
（中国古代数学：见课件）
数学名著——《算经十书》
《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书。十部算书的名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阴算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀zhui术》。
这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，它成书的年代当不晚于西汉后期（公元前一世纪）。《九章算术》，也不知道确实的作者是谁，只知道西汉早期的著名数学家张苍（前201—前152）、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。三国时期刘徽作过注。第三部是《海岛算经》，它是刘徽（约225—约295）所作。《五曹算经》、《五经算术》为[北周]
甄鸾撰。《孙子算经》、《夏侯阴算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》为唐武德八年(625)王孝通撰，《缀zhui术》是南北朝时期著名数学家祖冲之的著作。
宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高来看，都可以说是中国古代数学史上最光辉的一页。
特别是公元十三世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出现了秦九韶（1202—1261）、李冶（1192—1279）、杨辉、朱世杰四位著名的数学家。所谓宋元算书就指的是一直流传到现在的这四大家的数学著作，包括：秦九韶著的《数书九章》（公元1247年），李冶的《测圆海镜》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年），杨辉的《详解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《杨辉算法》（公元1274—1275年），朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）。
二、古代数学时期（公元前6世纪至公元16世纪末）
古代数学(即常量数学、初等数学)时期，数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。
公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果大致相当于现在中小学数学课的主要内容。
1．希腊文明
古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部
、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，其发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。
雅典时期各学派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以“万物皆数”作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化
中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。这个时期出现了古希腊的四大学派，埃利亚学派提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题，使希腊人的兴趣发展为从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。柏拉图在雅典创办著名的柏拉图学派，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。柏拉图的学生亚里士多德是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
约公元前325年，亚历山大大帝征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城，亚历山大大帝死后他创建的帝国分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心。
由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响，成为欧洲最先创造文明的地区之一。从公元前775年左右，希腊人开始发展他们的文化，随着古代西方世界的各条知识支流在希腊汇合起来，经过古希腊哲学家和数学家的过滤和澄清，形成了长达千年的灿烂的古希腊文化。从公元前6世纪到公元4世纪，古希腊成了数学发展的中心。
2．论证数学的发端
（1）伊奥尼亚学派--泰勒斯
伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯生于公元前624年，是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先河，据说他最先证明了如下的定理：
1.圆被任一直径二等分；
2.等腰三角形的两底角相等；
3.两条直线相交，对顶角相等；
4.半圆的内接三角形，一定是直角三角形；
5.如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。
泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，若不停战，到时天神震怒！到了那天下午，两派将士仍激战不已，霎时间，太阳在天空中消失，星辰闪烁，大地一片漆黑。双方将士见此景象，砍太阳神真的发怒了，要降罪于人类，于是立即罢兵休战，从此铸剑为犁，和睦相处。
泰勒斯的墓碑上镌刻的颂辞：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳”
。
（2）毕达哥拉斯
在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯及其创建的秘密会社--毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯(今希腊东部小岛)。为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克洛托内，在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪(约公元前500～前300)之久。
毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切．这个学派不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是“数”。这学派有一种习惯，就是一切发明都归功于学派的领认而且常常是秘而不宣．所以后人很难知道究竞是谁在什么时候发明的。
该学派发现并证明了勾股定理，这个学派最为尊崇的信条是“万物皆数”。这里的“数”仅指整数。分数则是两个整数之间的一种比值关系。他们认为所有的数皆由1而生，并命之为“原因数”。学派成员希帕苏斯是不可公度线段的首位发现者，“无理数”深深困扰住了古希腊的数学家们。他们所面临的这一逻辑困难，被称为“第一次数学危机”。
毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图、“黄金分割”、首创地圆说、音乐理论的始祖。
3．雅典时期
毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量高涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉斯本人也逃离克洛托内，不久被杀。希腊波斯战争（公元前490--前449）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣。这时学术繁荣，学派林立，主要学派有：
（1）爱利亚学派
爱利亚是公元前6世纪意大利南部城邦，爱利亚学派的主要人物德莫克里特提出原子论观点，他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的．计算体积就等于将这些原子集合起来。
芝诺是这一学派的另一个主要人物，他第一次企图揭露运动的矛盾，提出了四个违背常识的悖论：二分法、阿基里斯追龟、飞矢不动、运动场。这些悖论给学术界以极大的骚动，余波至今未息。
（2）诡辩学派
公元前5世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”(诡辩学派、哲人学派)应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：
①三等分任意角；
②倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；
③化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。
问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8，16，32、……边形，这样继续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽(约263年前后)的割圆术思想不谋而合。
（3）柏拉图学派
公元前4000年，古希腊哲学进入系统化阶段，其代表人物有柏拉图和亚里士多德。
公元前427年柏拉图生于雅典的一个名门望族。在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克斯--创立了比例论，亚里士多德--形式逻辑的奠基者。
柏拉图非常重视数学，传说在他的学园门口写着；“不但几何者不得入．
柏拉图在教学中为科学奠定了基础，坚持准确的定义、清楚的假设和逻辑的证明．他对数学有很大的功劳．在他的倡导下，柏拉图学派中产生了不少数学家．
欧多克斯曾一度是柏拉图的学生，在天文、几何、医学和法律方面都有值得称道的成就。他是最早介绍球面天文和描述星座的希腊科学家，在数学方面，最大的功劳是创立了比例论．欧几里得《几何原本》第5卷《比例论》大部分来自欧多克萨期的工作。
（4）亚里士多德学派
亚里斯多德，古希腊著名哲学家、自然科学家，西方文艺理论的真正奠基者。公元前384年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里斯多德早年丧父，由监护人“抚养”。17岁赴雅典就读于柏拉图的“学园”，受教20年。为学员中出类拔萃者。
柏拉图去世后，亚里斯多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。回雅典后，亚里斯多德自立学派--亚里士多德学派，专心教育和著述，经常在走廊边走边讲授，后世称他为“逍遥学派”。恩格斯称他是古代“最博学的人”。中世纪的人把他奉为圣人，其思想影响西方数千年之久．亚里士多德是形式逻辑的莫基者，有名的逻辑推理“三段论”就是他提出来的。他非常重视数学，他为希腊几何的公理化在逻辑思想上奠定了基础。
4．希腊数学的黄金时代----亚历山大学派
埃及的亚历山大城，是东西海防交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐成为新的希腊文化渊泉，希腊本土这时已退居次要地位。
亚历山大前期是指从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止．从这以后一直到公元641年阿拉伯人攻占亚历山大为止，称为亚历山大后期，前后持续千年。
这两个时期的特点，是几何脱离了哲学而独立从用实验和观察以建立起自己结果的经验科学，过渡为演绎的科学。从不多的几个原始命题(公理)开始，作为逻辑推论而得到所要的结论．而公理是在千万代实践的基础上得来的。这一时期另一个特点是高度的抽象化，数学至此达到全盛时期。
希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。
除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼(约公元前276～前195)的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯(公元前2世纪)制作“弦表”，是三角学的先导。
（1）欧几里得与《几何原本》
亚历山大前期第一个大数学家是欧几里得（euclid，约公元前330一275年)．关于他的生平，现在知道的很少．猜想他早年在雅典受过教育，深知柏拉图的几何学．公元前300年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大教学。他是一个温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱地教导，但反对在学习上不肯刻苦钻研，投机取巧的作风。欧几里得也反对急功近利的狭隘实用观点．斯托比亚斯记述一个故事，说有一个青年学生，才开始学第一个命题就问欧几里得，他学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利．”
欧几里得写过不少数学、物理方面的著作，而最重要的是他的巨著《几何原本》
(elements)。从来没有一本科学书籍，象《几何原本》那样巩固而长期地成为广大学生所传诵的读物。1482年到19世纪末，《几何原本》的印刷本竞用各种文字出了一千版以上．在这以前，它的手抄本统御几何学也已达一千八百年之久．欧几里得的影响是如此深远，以致欧几里得和“几何学”变成了同义语．
自从公元前7世纪以来，希腊儿何集中了异常丰富的材料，简直令人眼花缭乱，问题于是提出，怎样把它整理在严密的逻辑系统之中呢，这是一项艰巨的任务．公元前5世纪的希波克拉提斯、前4世纪的西底斯
(thcudzus，
约公元前360年)等学者都做过这样的综合整理工作，但当欧几里得集大成的《几何原本》出现的时候，这些工作都湮没无闻了．
《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范．
（2）阿基米德的数学成就
亚历山大学派第二个大数学家是阿基米德(archimedes)，公元前287年生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古(syracuse)，公元前212年卒于同地。他早年在亚历山大学习，以后和亚历山大的学者保持密切联系，因此他算是亚历山大学派的成员．
后人对阿基米德给以极高的评价．近代数学史家认为：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯，不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．普利尼称阿基米德为“数学之神”．反映了后入对阿基米德的崇敬．
阿基米德说任何重物都可以移动．并发出豪言壮语：“给我一个支点，我可以移动这个地球!”阿基米德有一个被人们传诵了两千年的轶事：有一次叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一个纯金的皇冠，做成后国王怀疑那里面掺有银子．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下．阿基米德也一时想不出好办法来．正在苦闷之际．他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去时候，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻．于是忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量．这一发现非同小可，它象闪电一般通过脑际．阿基米德高兴得跳了起来，飞奔到家中准备试验，口中大呼“由力卡!由力卡！”(eureka，希腊语意思是“我找到了”)经过仔细的实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿基米德原理”——物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量，后来总结在他的名著《论浮体》中。
第二次布匿战争时期，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌．马塞拉斯率领罗马大军围攻叙拉古．在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳。传说他用起重机抓起敌人的船只，高举起来，摔得粉碎。用新发明的奇妙机器，射出大石锥枪，如同暴雨，使罗马军心胆俱裂．有的希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧．另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去烧敌人的船．这些传说除了投石器、投火器较为可信之外，其余的大多是夸张的说法．无论如何，阿基米德为了挽救自己的祖国，曾竭尽自己的心智，给敌人以沉重的打击，这是无可怀疑的事实。就这样顽抗了敌人的进攻．终于因粮食耗尽而陷落，阿基米德也光荣牺牲了．
罗马兵入城时，统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能，下命令不准伤害这位贤者．而阿基米德似乎并不知道城池已破，又重新沉迷在数学的深思之中．一个罗马兵突然出现在他面前，命令他到马塞拉斯那里去，遭到阿基米彼的严词拒绝．这样，他就不幸死在这个土兵的刀剑之下(这故事出自普鲁塔克的记载)，另一种说法是罗马兵闯入阿基米德的住宅．看见一位老人在地上埋头作几何图形(还有一说是他在沙滩上画图)，士兵将图踩坏，阿基米德怒斥士兵：“不要弄坏我的图!”士兵拔出短剑，这位旷世绝伦的大科学家，竞丧在愚蠢无知的罗马兵手中！后说颇为流行。但以阿基米德的爱国热忱与智慧机智，似乎前说更为可信．
阿基米德的死，马塞拉斯颇感悲痛，除了将这士兵当作杀人犯处理外，并为阿基米德立墓，聊表景仰之忱．在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资纪念。
（3）阿波罗尼斯与圆锥曲线
阿波罗尼斯是亚历山大时期希腊数学史上的又一位杰出人物。他的贡献涉及几何学和天文学，但最为重要的是他在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。他以欧几里得式的严谨风格所写就的传世之作《圆锥曲线论》，在研究圆锥曲线上所达到的理论高度，直到笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
椭圆、抛物线、双曲线这些词的通用名称就是他在这部书中首先提出来的。在使用统一的方式引出三种圆锥曲线后，他便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、共轭直径、切线、中心、双曲线的渐近线、椭圆与双曲线的焦点、以及处在各种不同位置的圆锥曲线的交点数等等。
坐标制的思想，在阿波罗尼斯的书中已见端倪。
5．亚历山大后期与希腊数学的衰落
公元前146年罗马灭亡了希腊，逐步统一了地中海一带．这时亚历山大的数学仍能继承前期的成就，不断有所发明创造．这个时期叫做亚历山大后期。这个时期的希腊学者在算术和代数方面颇有建树。
海伦的《量度》一书主要讨论各种几何图形的面积体积计算。其中包括后来随其命名的三角形面积公式。海伦的几何学带有罗马科学明显的实用色彩，不少命题没有证明，这对于亚历山大前期的数学家而言，完全是不可思议的。
托勒密的名著《天文学大成》（Almagest）既总结了前人的知识，又提出了不少新理论，为三角学的进一步发展和应用奠定了坚实的基础。《天文学大成》对三角学的贡献为托勒密在数学史上赢得了稳固地位。
丢番图的《算术》一书的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。他把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为“代数学之父”。
他的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。”
意思即是：丢番图的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又过了1/7才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。
这相当于方程X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X，X =
84，由此知道丢番图享年84岁。
325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落。
三、近代数学时期（17世纪至19世纪末）
16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，生产力大大解放，促使技术科学和数学急速发展。
这一时期出现了许多重大的事件，哥白尼的新学说、开普勒的行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现。伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。代数方程论的一系列的成就。解析几何、微积分学的建立，概率论和射影几何的出现。
十八、十九世纪，数学的主流是微积分学的深入发展，数学同力学的有机结合、微分几何成为独立学科、伽罗瓦群论的诞生、四元数的发现、逻辑代数的建立、非欧几何的产生与几何学的统一、分析的算术化、解析数论的形成也是这个时期数学的另一个鲜明特征。成为向现代数学过渡的重要时期。
1．向近代数学的过渡
（1）代数学
欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面。
（2）三角学
航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展，法国数学家韦达将平面三角与球面三角系统化
（3）透视法与射影几何
富有独创精神的数学天才笛沙格（1591~1661）是系统讨论透视法的第一人。法国数学家帕斯卡提出射影几何的重要定理--帕斯卡定理。
2．解析几何的诞生
近代数学本质上是变量数学。变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系。将几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
解析几何的发明归功于法国另外两位数学家笛卡儿(1596~1650)与费尔马1601~1665)。
数学的发展史篇(2):中国数学发展史
中国数学发展史
作者：范苇
中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。
(一)属于算术方面的材料
大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。
现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。
古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。
小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。
(二)属于代数方面的材料
从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。
我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。
一元二次方程是借用几何图形而得到证明。
不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。
具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。
十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。
在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。
级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。
历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。
内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。
就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。
(三)属于几何方面的材料
自明朝后期(十六世纪)欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。
中国的几何有悠久的历史，可*的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。
汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。
圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是：“圆，一中同长也。”—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。
在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。
在刘徽的“九章算术”注中曾多次显露出他对极限概念的天才。
在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。 中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果．
正好说明十八、九世纪中国数学家对割圆连比例的研究和项名达(1789—1850)用割圆连比例求出椭圆周长。这都是继承古代方法加以发挥而得到的(当然吸收外来数学的精华也是必要的)。
(四)属于三角方面的材料
三角学的发生由于测量，首先是天文学的发展而产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为要决定恒星的位置很早就有了球面测量的知识；平面测量术在“周牌算经”内已记载若用矩来测量高深远近。
刘徽的割圆术以半径为单位长求圆内正六边形，十二二边形等的每一边长，这答数是和2sinA的值相符(A是圆心角的一半)，以后公元十二世纪赵友钦用圆内正四边形起算也同此理，我们可以从刘徽、赵友钦的计算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函数值。
在古代历法中有计算二十四个节气的日晷影长，地面上直立一个八尺长的“表”，太阳光对这“表”在地面上的射影由于地球公转而每一个节气的影长都不同，这些影长和“八尺之表”的比，构成一个余切函数表(不过当时还没有这个名称)。
十三世纪的中国天文学家郭守敬(1231—1316)曾发现了球面三角上的三个公式。现在我们所用三角函数名词：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，这都是我国十六世纪已有的名称，那时再加正矢和余矢二个函数叫做八线。
在十七世纪后期中国数学家梅文鼎(1633—1721)已编了一本平面三角和一本球面三角的书，平面三角的书名叫“平三角举要”，包含下列内容：(1)三角函数的定义；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求积，三角形内容圆和容方；(4)测量。这已经和现代平面三角的内容相差不远，梅文鼎还著书讲到三角上有名的积化和差公式。 十八世纪以后，中国还出版了不少三角学方面的书籍。
数学的发展史篇(3):中国数学发展简史
（二）春秋战国之际，筹算得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（是我国古书中最早体现微积分思想的一段）等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算，今有术(西方称三率法)，开平方与开立方（包括二次方程数值解法），盈不足术（西方称双设法），各种面积和体积公式，线性方程组解法，正负数运算的加减法则，勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等,水平都是很高的,其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
（三）中国古代数学体系的发展
魏、晋时期出现的玄学有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
南北朝数学的发展东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。在北方，由于当时社会的需要，在《九章算术》的基础上，数学仍在继续发展。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求简化计算方法，从《新唐书》等文献
留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
（四）中国古代数学的繁荣
960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,数学也迎来了大繁荣。
比较有代表性的是隙积术。朱世杰解决了更大量的更高阶的等差级数求和问题。
（五）中、西方数学的融合明代进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，施行八股考试制度，数学发展逐渐衰落。鸦片战争后，西方初等数学陆续传入中国，中国人学习西方数学，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面。早期传入的西方数学中影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作。绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。近代中国也出现了许多著名数学家，如熊庆来、苏步青、江泽涵、华罗庚、吴文俊、陈景润、
-------------------以下简述《九章算术》--------------------------
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：
第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；
第三章“衰分”：比例分配问题。
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。
第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；
第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，勾股定理求解
相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
