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笛卡尔心形线篇一:七夕节：用数学爱心向你男/女神示爱吧
2016-08-09 彭翕成 哆嗒数学网
作者，彭翕成，武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙的语言是数学！”
对于这句话，不管是学生，还是老师可能都不大相信。怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很难回答。在很多人看来，数学和自然的联系实在是不多。
著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的……数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”
从理论上来说，描绘物体图像只要先描出足够多的点，再用lagrange插值公式就能给出该图像的拟合公式。但实际操作起来还是会遇到一些问题。本文以超级画板为作图工具，用一些中学教学常见的函数拟合一个比较有意义的爱心图形。
提起爱心方程式，不得不让人联想到笛卡尔情书的故事。虽然笛卡尔的情书并不比牛顿的苹果更可靠，但笔者认为既然文学中有那么多才子佳人的故事，数学中为什么不能有呢？所以笔者还是将情书的故事转载如下。
解析几何的创始人笛卡尔在欧洲大陆爆发黑死病时，流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国18岁的公主克里斯汀，后来成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。
笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：。
国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来（图1），看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间……据说这封另类情书保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。
图1
可断定上述故事是有人围绕心形线，将瑞典女王请笛卡尔讲学的事情改头换面虚构而成。笛卡尔的心形线太圆了，有点像苹果了，能否画得更像心形一点呢？
一：圆变心形
笔者猜测可以从圆出发，把圆上点的横坐标不变，纵坐标按照某种比例向上挤压一下。单位圆的方程是，可变换成，再添加一项，则得到：，。这两个方程得到的是图2中y轴右边的图像。为什么要限制，而不是默认为，这是因为心形是对称图形，只要我们能够作出一半，利用对称就能得到另外一半。若急于求出，想一次攻破，恐怕不那么容易。
利用超级画板这一实验平台，我们可以马上将想法可视化。图2得到的就是当参数b取不同值的情形。
图2
我们可以作点小修改，譬如将方程改成和，可得图3。
图3
笔者之前做过一个心形设计，与此函数作图是一致的。是将作两个正交的椭圆（图4），再选取其中部分填充颜色（图5），可得到一个漂亮的心形。
图4 图5
二：偶函数图形
探究至此，笔者突然想到：偶函数不就关于y轴对称么？于是上面的方程可简化为，，定义域就是默认的，这样上下两端函数就构成了一个心形。
基于偶函数的考虑，又在网络资料的启发下，笔者画出了下面的图形。
图6的方程式是，。
图7的方程式是，。
图6 图7
图8的方程式是，。
图9的方程式是，。
图8 图9
图10的方程式是，。
图11的方程式是，。
图10 图11
三：参数方程作图
下面这些参数方程作心形，都是笔者在网上找到的方程。不得不佩服原作者的创意。这么不常见的表达式，若不是妙手偶得，那必定是千锤百炼修改而成。可以肯定的是，借助于超级画板这种作图工具，可以省不少事。
图12的参数方程是，。
图13的参数方程是，。
图12 图13
图14的参数方程是，。
图15的参数方程是，。
图14 图15
图16的参数方程是，。
图17的参数方程是，。
图16 图17
图18的右半部分的参数方程是，，还需要作一次关于y轴的对称。
图18 图19
四：极坐标方程作图
由于心形是封闭环状，使用极坐标方程是很好的。但要想设计出下面这两个方程可不容易。
图19的参数方程是。
图20的参数方程是 。
图20 图21
五：心碎
爱情是美好的，失恋是痛苦的。数学家也有自己表示心碎的独特方式。如果你手头有作图工具，不妨试试这三个方程：，， 。
本文大多数方程式不是笔者原创，而是收集于国外一些数学网站。笔者相信这可作为数学教学的素材，起到激发学生数学的作用。关于用数学方程描绘其他事物，我们将另文介绍。
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笛卡尔心形线篇二:心形线有何奇妙？
有人说，爱情是三角形的，因为只有三角形是稳定的，那么，完美的爱情就是一个等边三角形，而“心”就是三角形之于爱情的化身，暗含着爱和永恒的憧憬和誓言。自然地，表白中也处处充满这一形状，或是摆心形蜡烛，或是叠心形纸等等，别致而又温馨。
如果你精通数学的话，就可以不这么麻烦了。只需做出r=a(1-sinθ)的图像就可以，或者干脆更简单一些，编个程序利用电脑帮忙执行。怎么样？数学的应用广泛吧，不只是自然科学的基础，还可以用来表达爱意。尽管这一图形并不那么精致，但相信大家都被数学之美深深吸引了。
关于心形线还有个浪漫的故事，有关著名数学家笛卡尔的，传说他在欧洲爆发黑死病时流浪到瑞典，认识了瑞典公主克里斯汀，后来做了她的数学老师，时间久了两人产生了爱情，然而，公主的父亲闻之勃然大怒，将公主软禁起来，并把笛卡尔流放回法国，笛卡尔回去后只得通过信件联系公主，然而都被国王拦下了，除了那封写着r=a(1-sinθ)的通过了检查，公主拿到信件，马上动手绘图，很快就把图形画了出来，明白了恋人的情意。
这是个令人唏嘘的故事，但也只能归为故事，经查证，这并不是事实，但心形线却是真真切切的，并且流传至今。除了在表白颇有奇效外，心形线还被应用于生活中，话筒、手机、发动机等都有它的影子。
单向麦克风各种类中较常见的是心形线麦克风，因为其灵敏度模式是心形的，所以这么命名。心形线麦克风有区分明确的前敏感区和后敏感区，麦克风的正面灵敏度最好，还原度最高，即心尖头的位置处；而麦克风的背面灵敏度最差，还原度最低，即心的尾部处。
心形麦克风是无方向的，这就意味着它只能从一个方向，耳机的前方接收到声音，在拒绝来自其他方向的声音有很好的效果。心形图会随着频率的值的改变而改变，除此之外，频率源和麦克风间的距离也会影响图形：随着距离的增大，频率会渐渐降低。当记者手持麦克风在现场做采访时，会有“临近效应”，随着音源和麦克风之间距离的减小，频率会从低等到中等变化。看了上图，估计你能更加明了心形麦克风的原理。
文章描绘的是极坐标下的垂直方向上的心形线，除了这个，还有水平方向：r=a(1-cosθ)或r=a(1+cosθ)(a>0)，还有垂直方向的r=a(1+sinθ)(a>0)。而在平面直角坐标系下，表达式为x2+y2+ax=a√x2+y2或是x2+y2-ax=a√x2+y2。
笛卡尔心形线篇三:数学史话之宅家男神笛卡尔
欧洲数学在经过文艺复兴前期的准备后，终于在17世纪开始开花结果，越来越多的数学天才如同夜空中的焰火一样，不断地闪耀出夺目的光彩来，用一个最俗的词来形容就是"群星闪耀"，而在这群星中，我们的"宅家男神"笛卡尔先生无疑是最先闪亮的一个。
笛卡尔
勒内·笛卡尔于1596年出生在法国图赖讷拉海（现在已经改名为笛卡尔）一个古老的贵族家庭。在他8岁的时候，他的父亲送他去了当地的一个耶稣会学院学习，院长见他体弱多病，就特别允许他可以不用早起，甚至想躺到任何时候都可以。从此以后，笛卡尔终生保持着这个习惯，每当他想要思考的时候，他就躺在床上不出门了（有孩子的家长和正在上学的孩子，看到这篇文章后，是不是有眼前一亮的感觉啊？）。
麻省的耶稣会学院
笛卡尔17岁时离开了学院去参军了，后来在1619年的11月10日，他做了三个梦，记住，不是一个梦，是三个，在第一个梦里，他被邪恶的风从教堂或者学院的安全住所吹到了一个风力无法到达的地方；在第二个梦里，他得到了解开自然秘密的钥匙；在第三个梦里，他朗诵了一个诗人的诗句：Quod vitae secatabor iter?（我将遵循什么样的生活道路），意味着他寻找到了通往科学的道路。后来，有人把这一天当成了解析几何的诞生日。
在笛卡尔时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，并成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。
解析几何
笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑、几何、代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创新地将几何图形"转译"代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的"解析几何"或称"座标几何"。
平面直角坐标系
解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。
此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a, b, c以及未知数x, y, z等，还有指数的表示方法。他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式。还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。
欧拉-笛卡尔公式
很多小道消息说笛卡尔和瑞典的小公主克里斯蒂娜相互爱恋，但是由于国王的阻挠，他们无法在一起。笛卡尔得了黑死病，在他快死的时候，给小公主写了一封信，里面只有一个方程：r=a（1-sinθ），国王不知道是什么意思，觉得没什么关系，就交给了公主，公主用这个方程画出了著名的心形线。然而很可惜，这个小道消息基本可以确定是编的。事实上，笛卡尔的确是在瑞典去世的，但不是由于黑死病，而是肺炎，笛卡尔见到克里斯蒂娜的时候，她已经是女王而不是公主。而笛卡尔之所以患上肺炎，是由于女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学，天气寒冷再加上过度操劳，让笛卡尔病倒了。另外，这个公式是一个极坐标公式，而极坐标是牛顿发明的，在笛卡尔之后很多年才出现。
心形线
