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数字排列器篇(1):神奇的数字排列
神奇的数字排列
神秘的”7“字之谜
看完让你爱上数学，数学竟然是如此神奇的东西/网络
圆周率之源
数学之骚美 | 不懂数学也能明白傅里叶分析和感受数学之美数学如此简单!老师为什么没这么教?(留着以后教孩子)
为什么圆是360度，震惊世界的解释
你也许知道宝塔诗，简单的数学题更是不在话下，但是下面这位数学老师写出来的算术宝塔诗，你肯定没见过！太牛了，没想到数学还能这样算！
1
1x8+1=9
12x8+2=98
123x8+3=987
1234x8+4=9876
12345x8+5=98765
123456x8+6=987654
1234567x8+7=9876543
12345678x8+8=98765432
123456789x8+9=987654321
2
1x9+2=11
12x9+3=111
123x9+4=1111
1234x9+5=11111
12345x9+6=111111
123456x9+7=1111111
1234567x9+8=11111111
12345678x9+9=111111111
123456789x9+10=11111111113
9x9+7=88
98x9+6=888
987x9+5=8888
9876x9+4=88888
98765x9+3=888888
987654x9+2=8888888
9876543x9+1=88888888
98765432x9+0=888888888
4
很炫，是不是?
再看看这个对称式
1x1=1
11x11=121
111x111=12321
1111x1111=1234321
11111x11111=123454321
111111x111111=12345654321
1111111x1111111=1234567654321
11111111x11111111=12345678765432
1111111111x111111111=12345678987654321
简直太厉害了，没想到数学还能这样算，不仅非常对称，还成宝塔的形状！给这个数学老师点个！
神奇的数字排列
公元1514年，一位青年把一个正方形分成16个相等的小正方形，然后将1、2、3……14、15、16等十六个数字，分别写在每一个小方格里。他写了又擦、擦了再写，最后写成了这个样子。
他高兴得发狂，因为他成功了！他写出了一个神奇的数学魔板。不信，你把每一个横排的数字相加起来，每一排的结果都是34。
你再把每一个竖排的数字相加起来，每一列的结果也都是34。
还有奇怪的是：你把大方块对角线方向的四个数相加，结果也是34。
大方块另一个对角线方向的四个数相加，其结果依然等于34。
你把这四个带颜色的数字相加一下，看看结果是不是34？
你再转一个方向把四个带颜色的数字相加一下，结果还是34。
改变一下，你把这四个带颜色的数字相加一下，看看结果是不是34？
你再转一个方向把四个带颜色的数字相加一下，结果还是34。
再试试这几个？为什么四个数相加的和都是34？他是怎么想到的？
原来1+2+3+……+14+15+16=136；把136平均分成四份，每份就是34。
神秘的”7“字之谜——
2014-09-20 01:49:02| 分类： 社会人文 本文转载自云鹏润峰《神秘的”7“字之谜》
世界上有一个非常神奇的数字，它无孔不入地渗透在你的生活中。这个数字，从远古走来到今天，在天文、宗教、文学、音乐等领域中无不浮动着它的魅影；有多少古往今来无数的未解之谜都跟它有关！有多少古今中外数学家、天文学家、文学家对它上下求索！想到了吗？这个数字就是“7”。
2014年7月17日，一架波音777马航MH17客机，从阿姆斯特丹预定飞往吉隆坡，17日晚间却惊传在乌克兰靠近俄罗斯边境处，疑似遭飞弹击落坠毁。对此，美国副总统拜登在当地时间17日表示，坠毁的马航客机“确实是被击落的”。随着马航客机遭飞弹击中坠毁，造成机上超300名乘客全数遇难，诡异的巧合也不胫而走。17日出事的马航班机号码是“MH-17”，交付日期为1997年7月份，波音777型客机。当年首飞日期恰好也是7月17日，截至飞机坠毁前，机龄正好17年。巧合的是，在18年前的7月17日，环球航空TWA800班机也在这天发生空难，当时造成230人罹难。这架环航747客机是在纽约长岛上空爆炸解体，失事原因一度有争议，还传出是被美国导弹击中，后来确认是油箱爆炸。相隔18年的同一天，再度发生严重空难，关于数字“7”的恐怖传言也让外界平添不少想像。
马航MH-17坠机现场的惨烈景象——
数字“7” 为何这么可怕？在心理学中，“7”是一个被学者称为是“不可思议”的数字，多数人的短时记忆容量最多只有7个，超过了7，就会发生遗忘，因此多数人都把记忆内容归在七个单位之内。生活中很多东西都和 “7”有着密切的联系，每项和 “7”有关的事物都让人觉得神奇：人有“七窍”、太阳光由七种颜色组成、每周有七天、女性的生理期也一般为七天、算盘设有七粒珠子、简谱有七个音符、水的PH是7（中性值）、七绝韵律诗、古老的七月初七节、瓢虫背上有七点、北斗有七星、地球陆地分七大洲、世界七大奇迹、甚至童话故事里有七个小矮人、神话中有七仙女……
如果说这些还不算神奇的话，那么我们可以随便找一张纸，将它连续对折，我们会惊奇地发现无论纸有多大多薄，任何一张纸能够对折的次数最大限度为7次！更为神奇的是，7个1组成的数字与自身相乘（11111111111111）得出的数字竟然是1234567654321！这些还不算，如果把 “7”这个数字分开呢？我们看1/7＝0.142857142857142857142857......
当我们看到这个循环小数时，麻烦大了：142857，这个据说是在金字塔中发现的世界上最神秘的数字出现了。科学家认为，7是一个最特殊的数字，也发现，在计算中，分别用1、2、3、4、5、6去除以7，它们都是无限循环小数，例如：1/7=0.142857；2/7=0.285714；3/7=0.428571；/7=0.571428； 5/7=0.714285；6/7=0.857142。
观察上面的计算结果，发现了很多有趣的地方：
1、小数部位的循环节在第7位。
2、小数部位里的数字不会改变，只不过位置交换。
3、相领的7的倍数之间的不是7的倍数中加起来是7的倍数，如：1+2+3+4+5+6=21；36+37+38+39+40+41=231；8+9+10+11+12+13=63。
科学家在金字塔中发现神秘数字与“7”紧密相连——
数字“7” 有什么神秘之处？
第一，自然界没有七足动物或昆虫，却有七叶植物；不过，必须是有头叶的、有首领叶的植物，才可以有7、9、11等奇数叶。黄河流域和北京、江浙均栽植有七叶树，两广、贵州等地盛产七叶莲。这种7叶植物的大量存在，说明“7”在数学上虽不对称、不可约，在生物界却首叶居中、两两成行，而且枝繁叶茂的奇数叶，恰可类比人类“有头叶、有首领叶”才有社会的合理结构。
第二，北斗星由七颗星组成，人们夜夜可以仰望七星的“斗转星移”，还可以按北斗星的指示找见永远悬在正北方的北极星。但是，人们看见了它却不理解它，知其象而不知其理，感到亲切也感到困惑；人与北斗的关系，只能是已知与未知的统一，有限与无限的统一，实在与神秘的统一。
第三，白色的阳光通过三棱镜便折射出赤橙黄绿青蓝紫七彩；跨越天际的彩虹也是这七种颜色，“7”便在彩虹中客观地展现了自然的美丽、奇妙与神秘，也在雨后湿润的大地和雾蒙蒙的空气中客观展现了上天的恩惠与祥和。
七色阳光，绚丽多彩；七色彩虹，天上奇观。赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫，描画出无数动人的图画；七种颜色，构成整个世界的所有景色。
第四，数学是客观存在的抽象，在数学上“7” 是一个特异的素数。本来“7”只是一个自然数，和1、2、3、4、5、6、8、9一样，在计数上似乎都没有什么特别之处，然而在运算上“7”却是一个脾气古怪、神秘特异、不对称、不可约、不可分解的素数。素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其他两个整数的乘积。换言之，素数就是只能被1和自己除尽的整数。1、2、3、5、7都是素数，但1的倒数是1，2的倒数是 1.5，5的倒数是 0.2，其他数字的倒数是普通的小数，唯独7的倒数是“在圆环内转圆”的无限循环小数。
第五，在音乐中“7” 物质世界的艺术之神。哆、来、咪、发、索、拉、稀七个音符组成了一个奇妙的音乐世界。用自然科学的眼光看，7个音及高八度，表达了物体振动波长的循环；艺术中7表达自然的韵节，7是艺术的吉祥。
第六，PH值是化学上用以衡量液体酸碱性比值的表示符号。当 PH值大于7时，物质呈碱性，而PH值愈大，碱性就愈强；当PH小于7时物质呈酸性， PH值越小酸性越强；唯有PH值等于7时，物质才呈现中性。
因此，7是酸碱度的中点，又是人们追求的标准数，获得7这一数字，食物既无酸性，又无碱性，不酸不碱，酸甜可口。也可以说，7表达了大自然中事物的适度与恰如其分，是大自然的中庸之道。
第七，20世纪80年代初，西蒙开始涉足人工智能这一领域的研究，力求使计算机能更像人那样进行“思考”，而不必去求助于效率欠佳的穷举法来求解。他的这项研究，有不少重大的发现。
然而，最重要的是发现却给了我们关于“7”的谜的解答。西蒙和他的同事们通过对人如何善于处理大量新数据（信息流）的研究发现，能保存在人们的短期记忆里而不至于被遗忘的数据，充其量也不过是六七项而已。也就是说，能够记忆七项数据已经达到我们的记忆极限了。
衡量液体酸碱性时，唯有PH值等于7时物质才呈现中性——
数字“7” 有什么灵异之处？这些还不算，如果把“7” 这个数字分开呢？我们看1/7＝0.142857142857142857142857......当我们看到这个循环小数时，麻烦大了：142857，这个据说是在金字塔中发现的世界上最神秘的数字出现了。我们将这个把7分除以1份而得来的神秘数字拿来从1乘到6看看。
142857*1 = 142857；142857*2 = 285714；142857*3 = 428571；
142857*4 = 571428；142857*5 = 714285；142857*6 = 857142。
同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。那么把它乘与7是多少呢？ 我们会惊人的发现是 999999。而 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99。最后，我们用 142857 乘与 142857 答案是：20408122449。
前五位加上后六位的得数是多少呢？20408 + 122449 = 142857，秘密一步步正在被揭开！
最不可思议的是，圣经里上帝与“七”的关系。圣经创世纪记载，神用六日造齐了天地万物，第七日歇工安息了。创2：1-3 记：“天地万物造齐了。到了第七日，神造物的工已经完毕，就在第七日歇了他一切的工，安息了。神赐福给第七日，定为圣日，因为在这日神歇了他一切的工，就安息了。”圣经箴言书 9 章 1 节记：智慧建造房屋，凿成七根柱子。圣经启示录 1 章17—20节是这样记的：我一看见就仆倒在他脚前，像死了一样。他用右手按着我说：“不要惧怕！我是首先的，我是末后的，又是那存活的。我曾死过，现在又活了，直活到永永远远，并且拿着死亡和阴间的钥匙。所以你要把所看见的和现在的事，并将来必成的事都写出来。论到你所看见、在我右手中的七星和七个金灯台的奥秘，那七星就是七个教会的使者，七灯台就是七个教会。”启示录 4 章 5 节记：有闪电，声音，雷轰，从宝座中发出。又有七盏火灯在宝座前点着，这七灯就是神的七灵。启示录 5 章 6 节记：我又看见宝座与四活物并长老之中，有羔羊站立，像是被杀过的，有七角七眼，就是神的七灵，奉差遗往普天下去的。
再随便挑两个关于“七”的中国记载——
中国古代把二十八宿平均分为四组，每组七宿，这与七声音阶的构成并非巧合。在中国，人死后有七个“七七”，死者在“头七”会还魂归来。旧时人死后每隔七天祭一次，直到第49天为止，共分七个七，叫“七七”。第一个七天，也被叫做“头七”。一般都认为，死者魂魄会于“头七”返家，家人应该于魂魄回来前，给死者魂魄预备一顿饭，之后必须回避，最好的方法就是睡觉，睡不着也应该要躲入被窝；如果让死者魂魄看见家人，会令他记挂，便影响他投胎再世为人。民间还有另外一种说法，据说死者从去世之后，在49天内，每隔七天阎王要审问亡魂一次，故“七期”又称“过七灾”。在烧七时，丧家要在大门口挂白纸灯笼，表示家有重孝。头七在家设灵牌，焚香明烛，供献酒肴祭奠，下余六七都到坟地化纸钱。
由马航MH17的坠毁与神秘数字“7” 的联系，我们或许有所领悟：有些事情冥冥中早已注定……【在线学习】看完让你爱上数学，数学竟然是如此神奇的东西/网络
2013-02-11 10:19:57| 分类： 【学生学习】 | 标签：看完让你爱上数学 数学学习 佳人有约【原飞飞】博客
经常会被问到的一个问题：数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？这篇文章精心选择了 10 个老少咸宜的算术问题，以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识，触及到数学的各个领域。希望从小数学就不及格的朋友们能够喜欢上数学这门充满乐趣的学科。
1.数字黑洞 6174 任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7 步以内必然会得到 6174。例如，选择四位数 6767：7766 - 6677 = 10899810 - 0189 = 96219621 - 1269 = 83528532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174……6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。
2.3x + 1 问题 从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。你会发现，序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。例如，所选的数是 67，根据上面的规则可以依次得到：67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是，是否对于 所有 的数，序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢？这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。
3.特殊两位数乘法的速算 如果两个两位数的十位相同，个位数相加为 10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC，那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积，后两位就是 B 和 C 的乘积。比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20，后两位就是 7×3=21。也就是说，47×43=2021。类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。这个速算方法背后的原因是，(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意 x 和 y 都成立。
4.幻方中的幻“方” 一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3×3 的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于 15。
大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有816^2 + 357^2 + 492^2 = 618^2 + 753^2 + 294^2利用线性代数，我们可以证明这个结论。
5.天然形成的幻方
从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个 18×18 的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 （注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。
6.196 算法 一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484：67 + 76 = 143143 + 341 = 484把 69 变成一个回文数则需要四步：69 + 96 = 165165 + 561 = 726726 + 627 = 13531353 + 3531 = 488489 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，8813200023188。大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于 几乎 所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。
7.Farey 序列 选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例如，下面展示的就是 n = 7 时的 Farey 序列。
定理：在 Farey 序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1 ！这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题！
8.唯一的解 经典数字谜题：用 1 到 9 组成一个九位数，使得这个数的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整除，以此类推，一直到整个九位数能被 9 整除。没错，真的有这样猛的数：381654729。其中 3 能被 1 整除，38 能被 2 整除，381 能被 3 整除，一直到整个数能被 9 整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。另一个有趣的事实是，在所有由 1 到 9 所组成的 362880 个不同的九位数中，381654729 是唯一一个满足要求的数！
9.数在变，数字不变 123456789 的两倍是 246913578，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。246913578 的两倍是 493827156，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。把 493827156 再翻一倍，987654312，依旧恰好由数字 1 到 9 组成的。把 987654312 再翻一倍的话，将会得到一个 10 位数 1975308624，它里面仍然没有重复数字，恰好由 0 到 9 这 10 个数字组成。再把 1975308624 翻一倍，这个数将变成 3950617248，依旧是由 0 到 9 组成的。不过，这个规律却并不会一直持续下去。继续把 3950617248 翻一倍将会得到 7901234496，第一次出现了例外。
10.三个神奇的分数 1/49 化成小数后等于 0.0204081632 …，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是 2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。100/9899 等于 0.01010203050813213455 … ，两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和（也即 Fibonacci 数列）。而 100/9801 则等于 0.0102030405060708091011121314151617181920212223 … 。利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。
圆周率之源
圆周率的故事
圆，是人类最早认识的一种曲线，也是用途最广的一种曲线。还在遥远的古代，火红的太阳、皎洁的月亮、清晨的露珠，以及动物的眼睛，水面的波纹，都给人以圆的启示。现代，从滚动的车轮到日常用品，从旋转的机器到航天飞船，到处都有圆的身影。人们的生活与圆早已结下了不解之缘。圆，以它无比美丽的身影带给人们无限美好的遐想。圆满、团圆，这些美妙的词语寄托了人们多少美好和幸福的憧憬！
圆周率是圆的灵魂，是圆的化身，可是这位仙子，却迟迟不肯揭开她那神秘的面纱。
人们对圆周率的认识经历了漫长的历史岁月，许多数学家为此献出了毕生的精力。现在，就让我们穿过时间隧道，与这些伟大的数学家作一次亲密接触吧！
早在三千多年以前的周朝，我们的祖先就从实践中认识到圆的周长大约是直径的3倍，所以在距今2000多年前的西汉初年，在我国最古老的数学著作《周髀算经》里就有了“周三径一”的记载。
随着生产的发展和文明的进步，对圆周率精确度的要求越来越高。西汉末年，数学家刘歆提出把圆周率定为3.1547。到了东汉，张衡——就是那位发明候风地动仪的天文学家，建议把圆周率定为3.1622。但是，这两种建议都因为缺乏科学依据而很少有人采用。一直到了公元263年，三国时期魏国的刘徽创立了割圆术，才使圆周率的计算走上了科学的道路。
什么是割圆术呢？原来，刘徽在整理我国古老的数学著作《九章算术》时发现，所谓的“周三径一”，实质上是把圆的内接正6边形的周长作为圆的周长的结果。于是他想到：如果用圆的内接正12边形、24边形、48边形、96边形……的周长作为圆的周长，岂不是更加精确。这就是割圆术。用他自己的话说就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”但是，因为计算过程随着边数的增加越来越复杂，限于当时的条件，刘徽只计算到圆的内接正96边形，使圆周率精确到两位小数，得到3.14。后来，刘徽又算到圆的内接正3072边形，使圆周率精确到四位小数，得到3.1416。还记得，我们那一代人上小学的时候，圆周率用的就是这个值。
又过了大约200年，到了南北朝的时候，我国出了一位大数学家，也是天文历算学家祖冲之。祖冲之于公元429年4月20日，出生于范阳郡遒县（现在的河北省涞水县）。他小时候没上过什么学，也没得到过什么名师指点，但是他自学非常刻苦，尤其是对天文、数学有着浓厚的兴趣。他广泛搜集认真阅读了前人有关天文、数学的许多著作，却从来不盲目接受，总要亲自进行测量和推算。公元460年，他采用刘徽的割圆术，一直算到圆的内接12288边形，推算出圆周率应该在3.1415926到3.1415927之间。同时，他还提出用两个分数作为圆周率的近似值，一个是22/7，叫“疏率” ，约等于3.142857；另一个是355/113，叫“密率”，约等于3.1415929。祖冲之对圆周率的计算，开创了一项世界纪录，比欧洲早了一千多年。国际上为了纪念这位伟大的中国数学家，把3.1415926称为“祖率”，并把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。这是我们中华民族的骄傲。
向往完美，向往精确是人类的天性。尽量把圆周率算得准确一点，一直成为人们的不懈追求。
在古希腊，人们也是把圆周率取为3。后来也发现了疏率22/7，直到1573年，德国数学家奥托才发现了密率355/113，比祖冲之晚了1113年。
在古埃及的纸草书（以草为纸写的书）中，有一道计算圆形土地面积的题目，所用的方法是：圆的面积等于直径减去直径的1/9，然后再平方。如果我们假设半径为1，直径就是2，圆的面积就是2÷9×8再平方，约等于3.16，也就是说圆周率约等于3.16。（因为S＝πr2，当r＝1时，S＝π。）
1593年，荷兰数学家罗梅，用割圆术把圆周率算到了小数点后15位，虽然打破了祖冲之的纪录，但是已时隔1133年。
1610年，德国数学家卢道夫，用割圆术使π值精确到小数点后第35位，几乎耗费了他一生的大部分心血。
随着数学的发展，人们又陆续发明了另外一些计算圆周率的方法。
1737年，经过瑞士大数学家欧拉的倡导，人们开始广泛地使用希腊字母π表示圆周率。
1761年，德国数学家兰伯特证明了π是一个无限不循环小数。
1873年，英国的向克斯，用了20年的精力，把π值计算到小数点后707位。可惜后来有人用电脑证明，向克斯的计算结果，在小数点后第528位上发生了错误，以致后面的179位毫无意义。一个数字之差使向克斯白白耗费了十多年的精力！他的失误警示人们，科学上容不得半点疏忽。这个教训值得我们永远记取。
随着电脑的不断升级换代，π值的计算不断向前推进，早在上个世纪80年代末，日本人金田正康已将π值算到了小数点后133554000位。当代，π 值的计算已经成为评价电子计算机性能的指标之一。
最后，还有两件与圆周率有关的趣事不能不谈。
第一件：1777年，法国数学家布丰，用他设计的，看似与圆周率毫无关系的“投针试验”，求出圆周率的近似值是3.12。1901年，意大利数学家拉兹瑞尼，用“布丰投针试验”求出圆周率的近似值是3.1415929。至于什么是“布丰投针试验”，请看拙文“布丰投针试验的故事”。
第二件：用普通的电子计算器，就能算出圆周率的高精度近似值。算式是：
1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961≈3.141592573…
这几个小数很好记，如果不看小数点的话，四个因数都是对称的，中间是5个9，前面两位分别是10、11、13、16，后面两位分别是01、11、31、61。至于是什么道理，不清楚。据我猜测，很可能是某位有心人，殚精竭虑编出的一道趣味数学题。
无独有偶，下面这些由十个不同数字组成的算式，也可以算出圆周率的高度近似值。
76591÷24380 95761÷30482 39480÷12567
97468÷31025 37869÷12054 95147÷30286
49270÷15683 83159÷26470 78960÷25134
显然，这些题目中的数字是凑出来的，渗透了创编者的良苦用心。
在分享了上面这些算式带给我们的惊喜和启迪之余，不禁要对这两位数学爱好者，表示崇高的敬意！
几千年来，圆周率精确值，不断推进的过程，反映了人类崇高的科学精神，闪烁着人类智慧的光芒，同时也让热爱数学、甘愿为数学献身的人们，充分感受到数学的无比美妙，享受到数学给予他们的无限幸福。
在相当长的一段历史时期内，人们往往用圆周率的精确程度，作为衡量一个国家、一个民族数学发展水平的标志。我国古代数学一直处于世界领先的地位，作为炎黄子孙，我们一定要继承祖先的光荣传统。而作为小学数学教师，一定要教育我们的学生，学无止境，科学的发展也没有止境，一座座科学高峰正等待着他们去攀登。刘徽、祖冲之、卢道夫……这些光辉的名字，永远是鼓舞全人类前进的榜样。数学之骚美 | 不懂数学也能明白傅里叶分析和感受数学之美
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、嘛叫频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
时域：
频域：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）
以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
（众人：鸡汤滚出知乎！）
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
（只要努力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
以及这里：
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
动图请戳：
File:Fourier series and transform.gif
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
数学如此简单!老师为什么没这么教?(留着以后教孩子)
1x8+1=9
12x8+2=98
123x8+3=987
1234x8+4=9876
12345x8+5=98765
123456x8+6=987654
1234567x8+7=9876543
12345678x8+8=98765432
123456789x8+9=987654321
1x9+2=11
12x9+3=111
123x9+4=1111
1234x9+5=11111
12345x9+6=111111
123456x9+7=1111111
1234567x9+8=11111111
12345678x9+9=111111111
123456789x9+10=1111111111
9x9+7=88
98x9+6=888
987x9+5=8888
9876x9+4=88888
98765x9+3=888888
987654x9+2=8888888
9876543x9+1=88888888
98765432x9+0=888888888
很炫，是不是?再看看这个对称式：
1x1=1
11x11=121
111x111=12321
1111x1111=1234321
11111x11111=123454321
111111x111111=12345654321
1111111x1111111=1234567654321
11111111x11111111=123456787654321
111111111x111111111=12345678987654321
这可能也是有规律的，真好玩。我小时候在十万个为什么上看到，15X15=225,25x 25=625,35X35=1225，45X45=2025,55X55=3025,65X65=4225,75X75=5625……都是有规律的，它们都是个位数相乘，十位数前一位不变，后一个加1后相乘即可，以后碰到类似的数字乘法就算的快了，有时候，知道一个数字算法的规律真的很好，用起来方便多了。
为什么圆是360度，震惊世界的解释
来源：大河报
数是万物的本原
——毕达哥拉斯学派
圆为什么有360度？
为什么不是300度呢？
古文明时期
人类把很多不能解释的自然现象归结为“天意”
真的有天意吗？
我们把圆分成等份，奇迹出现了.....依次等分下去，结果一样…
任何被分成等分的角度的所有数字之和为9
现在，我们来看看圆内的正多边形的角度之和…
数字占卦术？
把圆分成等分，其角度总是指向“9”
并且，圆汇聚成一个奇点
而圆内正多边形的变化方向刚好相反
数字9揭示了一种二元性
它既是奇点，也是真空
9意味着“万物”
同时也意味着“虚无”
这是什么意思？
数字排列器篇(2):电话与计算器的数字顺序
你有发现吗？电话与计算器的数字顺序不一样！
这是因为1960年代，贝尔实验室想知道按键式电话的数字应该怎么排，才可以让拨打电话的速度比较快。他们试了很多种组合，包括一排2个数字或是5个数字的。结果发现，一排3个数字且123放在第一排的打电话速度是最快的！因此按键式电话的数字顺序就是1, 2, 3, ..., 9, 0。
然而，计算器的发明比按键式电话早，大约是1950年，而贝尔实验室进行上述研究时，也想找出为何计算器的数字这么排列，但得到的答案是：没有人做过研究怎样比较方便（摊手）。有一种说法是，因为0,1,2,3比较常按，所以放在手边比较好用。
另外，从人类认知的观点，「123放在第一排」打电话的速度最快，是因为一般人习惯由上往下阅读/扫视，同时我们数数字的时候，是按照1,2,3,...的顺序数的。因此，符合这两种「习惯」的排列方式，能够让打电话的速度最快。
看完上面的说明，请你想一下，计算机键盘上的数字排列是哪一种呢？（低头看，就可以知道答案啰 XD）
数字排列器篇(3):excel中如何为中文数字排序
我是学校的,在一些表中,经常要用到班级排序,可excel不认中文数字,不能按大小排序,只能按音序或笔画排序,怎样能按数字(如:一一,二一,六六,三五,四十,五十等中文数字)排序
如上面的班级,最后排序的结果应该是: 一一 二一 三五 四十 五十 六六 第一和第二位都要按大小排序. 一一 一三 一四 二五 二八 二十 三五 四九 五十 六一
分事先、事后两种办法。 事先，未输入班级之前： 设置单元格格式/数字/自定义，“类型”下面输入 [DBnum1]0 这样比如你在单元格输入12时，会显示成“一二”，这样可以正常排序。 事后，已输入中文班级之后： 比如班级在A列，在旁边插入一空白列（就算B列吧），B1输入： =SUM((FIND(MID(A1,{1,2},1),"十一二三四五六七八九")-1)*{10,1}) 下拉复制此公式，得到阿拉伯数字，之后对此列排序。
还可在：工具/选项/自定义序列，“输入序列”下面输入： 一,二,三,四,五,六,七,八,九,十 点“添加”,确定。 然后，数据/排序/选项，“自定义排序顺序”选上面输入的那一序列，确定。
