【www.shanpow.com--数学试题】
右手坐标系篇(1):左手坐标系和右手坐标系
今天记录一下一些基本的数学知识，左手坐标系和右手坐标系。这些对于搞图像开发或者游戏开发的朋友来说，应该是很基础的东西，不过对于大部分人来说还是比较陌生的知识。之所以看这方面资料主要是因为在使用Android Camera使用Matrix的过程中，发现需要一些数学理论支持才能理解。这是为了后面使用Android Camera和Matrix的基础。
1、空间直角坐标系
下面摘录一段百科的解析，这些都是数学基础。过空间定点O作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点,具有相同的单位长度.这三条数轴分别称为X轴(横轴).Y轴(纵轴).Z轴(竖轴),统称为坐标轴。
各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向.这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面,称为坐标面.它们是:由X轴及Y轴所确定的XOY平面;由Y轴及Z轴所确定的YOZ平面；由X轴及Z轴所确定的XOZ平面．这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．位于X，Y，Z轴的正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在XOY平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二，三，四卦限；第一，二，三，四卦限 下方的卦限依次称为第五，六，七，八卦限。 2、右手坐标系
右手坐标系在我们以前初中高中学几何的时候也经常用到。在三维坐标系中，Z轴的正轴方向是根据右手定则确定的。右手定则也决定三维空间中任一坐标轴的正旋转方向。要标注X、Y和Z轴的正轴方向，就将右手背对着屏幕放置，拇指即指向X轴的正方向。伸出食指和中指，如右图所示，食指指向Y轴的正方向，中指所指示的方向即是Z轴的正方向。要确定轴的正旋转方向，如下图所示，用右手的大拇指指向轴的正方向，弯曲手指。那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向。
3、左手坐标系
伸出左手，让拇指和食指成“L”形，大拇指向右，食指向上。其余的手指指向前方。这样就建立了一个左手坐标系。拇指、食指和其余手指分别代表x，y，z轴的正方向。判断方法：在空间直角坐标系中，让左手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为左手直角坐标系．反之则是右手直角坐标系。 4、左手坐标系和右手坐标系比较 手坐标系和右手坐标系，左手坐标系是X轴向右，Y轴向上，Z轴向前，右手坐标系的Z轴正好相反，是指向“自己”的，在计算机中通常使用的是左手坐标系，而数学中则通常使用右手坐标系。计算机里面其实很多也有用右手坐标系，这个只是根据实际应用不同，没有说哪个比较好。 5、结语 今天主要是讲讲这两个坐标系和区分，因为后面我会讲解有关Android Camera使用Matrix进行滑动特效变换。里面就好应用到很多坐标系的转换，所以脑袋里面要先有这方面的概念，否则有关Matrix的转换和图像操作就不好理解了。 Edited by mythou
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右手坐标系篇(2):判断三维坐标系旋转正方向的简单方法
引言
做iOS开发，不免要接触到一些特效，其中不乏3D特效，这时候就要对iOS所使用的坐标系了解才行。若不限于iOS开发，还有MacOS开发，若不知道它们所使用坐标系的不同，初学者会很容易陷于混乱，
三维坐标系
做3D特效，就要用到三维坐标系，这是后人在笛卡尔的平面坐标系的基础上发明的。三维坐标系分两种，左手坐标系和右手坐标系，为什么用左手和右手来区分呢？这是因为当确定了x轴，y轴方向之后,z轴的方向的两种，它可以通过左手或右手来确定。下面就是这两个坐标系的规则示意图（图中固定了x轴的正方向向右，y轴的正方向向上）：
相信大多数人对图中的右手坐标系很眼熟，没错，这就是初高中数学教材用到的三维坐标系，只是我们不一定知道它叫右手坐标系。
左手坐标系我们之前很少接触，但是在计算机图形学中这种坐标系非常重要，比如iOS的UIView使用的坐标系就是左手坐标系。有人可能会说，不对吧，UIView的坐标系是原点在左上角，y轴正方向向下，图中的不是这样啊，其实没错啦，把图中的左手坐标系沿x轴旋转180度就是原点在左上角的左手坐标系，区别就是旋转的角度不同而已。这是因为左手坐标系或者右手坐标系整体旋转后性质是不变的。
对坐标系使用左手与右手的命名，有一个作用就是用来方便判断旋转的正方向，这就是左手法则和右手法则。例如对左手坐标系，确定一个旋转轴后，左手握住拳头，拇指指向旋转轴的正方向，四指弯曲的方向为旋转的正方向。相应地，右手坐标系就用右手来判定。确定了旋转的正方向后，在公式计算中就很容易知道是该使用正角度还是负角度了。下图就是右手的例子：
但是，这个判断旋转正方向的方法还是不够快。给定任意一个旋转角度的三维坐标系，如果按上面的方法判断旋转正方向，首先，你得确定这个坐标系是左手坐标系还是右手坐标系，这时你会先拿出一只手来，像上图一样摆好三根手指的姿势来比对给定坐标系的x、y、z轴正方向看是否一致。然后根据旋转轴的正方向，用相应的手来判断旋转正方向。
其实，完全没有必要这么麻烦。怎么更方便地判断，且看我慢慢道来。
先看第一个图的两个坐标系，左边的为左手坐标系，右边的为右手坐标系，两坐标系的x轴和y轴正方向保持一致，z轴正方向相反。分别用左手法则与右手法则去判断它们各自绕z轴旋转的正方向，那么从我们眼睛看屏幕的角度来看，它们绕z轴旋转的正方向都是逆时针，这当然不会是巧合。观察这两个坐标系，就会发现这个逆时针方向与x轴正方向箭头顶点指向y轴正方向箭头顶点的方向一致，这说明绕z轴旋转的正方向与x轴正方向箭头顶端指向y轴正方向箭头顶端的方向有关联吗？我想是的。
然后再尝试判断两坐标系绕x轴旋转的正方向，它与y轴正方向顶端指向z轴正方向顶端的方向一致；而绕y轴旋转的正方向，与z轴正方向顶端指向x轴正方向顶端的方向一致。
结论一
据此，我觉得可以得出一个结论：对于任意旋转角度的三维坐标系，绕某一坐标轴旋转的正方向，与另外两个坐标轴的正方向顶端按X—>Y—>Z—>X的顺序进行指向的方向一致。
这就意味着，判断三维坐标系绕某一坐标轴旋转的正方向，不用事先知晓这个坐标系是左手坐标系还是右手坐标系，完全不需要你用手去比划.
反过来，既然判断旋转正方向这么容易，我们也可以利用它来快速判断一个坐标系是左手坐标系和右手坐标系：使用上述结论确定坐标系绕某一某旋转的正方向，然后逆用左手法则与右手法则，大拇指指向该轴的正方向，如果左手四指弯曲的方向与旋转的正方向一致，该坐标系就是左手坐标系，反之就是右手坐标系。
不过这还是复杂，还是需要用手比划。我突然想到了一个更好的方法：
想象y轴是一面墙，你面朝前方斜靠在墙上，可以假设你的头部为y轴正方向顶点，脚为x轴正方向顶点，那么z轴在你的左侧时就是左手坐标系，在右侧时就是右手坐标系。这个时候，人体的生长方向也刚好是绕z轴旋转的正方向。
结论二
再扩展一下就是：对于任意旋转角度的三维坐标系，想象你的脚踩在一个坐标轴（如x轴）正方向的顶点，头倚靠在其邻高坐标轴（如y轴）的正方向顶点，面朝背离原点的方向，那么，第三轴正方向顶点在你的左手边时，这个坐标系就是左手坐标系，在右手边时就是右手坐标系，而人体此时的生长方向就是绕第三轴(如z轴)旋转的正方向。
（注：这里的邻高坐标轴是我自己定义的一个概念，X轴的邻高坐标轴为Y轴，Y轴的邻高坐标轴为Z轴，Z轴的邻高坐标轴为X轴.）
在这个方法里，坐标系属性与绕坐标轴旋转正方向的判断达到了统一，从此可以抛弃左手法则与右手法则，也可以抛弃手指比划的方式来判断左右手坐标系，是不是会觉得很简单？
参考链接：
Mac，iOS界面中的三维坐标系
右手坐标系篇(3):理解计算机3D图形学中的坐标系变换
要谈坐标系变换，那么坐标系有哪些呢？依次有:物体坐标系，世界坐标系，相机坐标系，投影坐标系以及屏幕坐标系.我要讨论的就是这些坐标系间的转换。这些坐标系不是凭空而来，他们都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现.计算机3D图形学最最最基本的目标就是:将构建好的3D物体显示在2D屏幕坐标上.初看好像就是将最初的物体坐标系转换到屏幕坐标系就可以了呀，为什么多出了世界坐标系,相机坐标系，投影坐标 系。这是因为:在一个大世界里有多个物体，而每个物体都有自己的坐标系，如何表述这些物体间相对的关系，这个多出了世界坐标系；如果只需要看到这个世界其 中一部分，这里就多出了相机坐标系；至于投影坐标系那是因为直接将3D坐标转换为屏幕坐标是非常复杂的(因为它们不仅维度不同,度量不同（屏幕坐标一般都 是像素为单位,3D空间中我们可以现实世界的米，厘米为单位），XY的方向也不同，在2D空间时还要进行坐标系变换),所以先将3D坐标降维到2D坐标, 然后2D坐标转换到屏幕坐标。理解3D图形学的第一步:理解左手坐标系与右手坐标系为什么会有左手坐标系与右手坐标系之分？在3D空间(没错！就是3D)中，所有2D坐标系是等价的（就是通过一系列的仿射变换，可以互相转换）而3D坐标系不是等价的，通过仿射变换，是无法将左手坐标系转换到右手坐标系；也就是说，物体坐标系用的就是左手坐标系，世界坐标系用的是右手 坐标系，那么物体可能就是不会是我们所希望的样子了，可能是倒立的，也可能是背对着我们的，所以我们要区分左手坐标系与右手坐标系。也许在4D空间，左右 手坐标系就可以互相变换了吧。进入正题吧:首先讨论的是物体坐标系->世界坐标系前面说了为了描述多个物体间相对的关系，这里引进了世界坐标系,所以世界坐标系是个参考坐标系。这一步的目的将所有的物体的点都转移到世界坐标系，这里主要涉及的是旋转，缩放，平移等。不过我将详细说明为何及如何用矩阵来描述这些变换。例:如果有两个坐标系C与C`, C`是C绕Z轴旋转θ得到的。下面是各坐标轴的变换：如果是C坐标系的点P（x, y, z），而在C`的表示就是这时该如何建立矩阵呢? 答案就是区分你用的是行向量还是列向量.也许有人会问为什么不区分是左手坐标系还是右手坐标系呢？因为C可以变换到C`,那么他们一定是同在左手坐标系或右手坐标系,变换只能在可以互相转换的坐标系之间进行。如果你用的是行向量：由于行向量只能左乘矩阵(注意乘与乘以的区别)所以矩阵形式应该是这样只有这样，在左乘矩阵时才能得到上面P`的形式。如果你用的是列向量: 由于列向量只能右乘矩阵(注意乘与乘以的区别)所以矩阵形式应该是这样只有这样，在右乘矩阵时才能得到上面P`的形式。至于如何旋转，缩放，平移我不在多说。…………………………………觉得自己好像跑题了.还好这两个坐标系变换很简单。我们再讨论世界坐标系->相机坐标系引进相机的目的就是只需看到世界的一部分，而哪些是可以在相机里看到的，就需要进行筛选。将物体转换到相机坐标系，这样相机坐标系进行筛选时就会简单很多。这里的重点是构建相机坐标系。物体坐标系，世界坐标系是美工在绘制时就定义好了的。而相机坐标系是需要程序实时构建的。（当然这是通常情况下，如果你要建立一个世界，这个世界都是围绕 你转，要实时改变所有物体坐标系，固定相机坐标系（其实这时候相机坐标系就是世界坐标系），建立一个地心说的世界，我也没办法，你的思维也太不一样了。）如何构建相机坐标系呢？首先我们要明确目标：我们是要构建3D坐标系(好像是废话)，三个坐标轴要互相垂直(也好像是废话).我们一般用UVN相机。例如:D3D的D3DXMatrixLookAtLH，D3DXMatrixLookAtRH，OGL的gluLookAt(右手坐标系).如何建立呢UVN相机呢? 我们就要利用叉积这个工具了：两个不平行，不重叠的向量的叉积可以得到与这两个向量互相垂直的向量。如果有了相机的位置与目标的位置那么我们可以确定一个Z轴（有人问为什么是Z轴，因为物体的远与近我们就习惯用Z值来表示的）。求Z轴时要注意 是左手坐标系还是右手坐标系，左右手坐标系XY轴方向相同时，Z轴的方向相反。所以左手坐标系是目标位置减去相机位置，而右手坐标系则是相机位置减去目标 位置。记得normalize这是我们要得到X与Y轴了。如何求X，Y轴呢？一般方法是：1、选择一个临时Y轴，2、对临时Y 与Z 轴进行叉积求得一个X轴3、X轴再与Z轴进行叉积，得到一个Y轴。有了XYZ就可以求出旋转的相机矩阵了。如何选择一个Y轴呢？大多数情况下是（0，1，0），但是如果是相机位置E与目标位置T垂直,即（E-T=（0，+/-1，0）时），这时就不能用(0,1,0)了， 因为两个平行向量的叉积是零向量，所以我们就要另选一个Y轴。但是我觉得我们可以改变方法。如果不能选Y轴，我们就选择一个临时X轴，这个临时Ｘ轴就是（1，0，0）。然后再对临时X轴与Z轴进行叉积求得一个Y轴。最后Y轴再与Z轴进行叉积，得到X轴。这样可以得到XYZ轴。最后再根据行向量与列向量建立相机矩阵，再进行平移。相机坐标系->投影坐标系.投影的目的就是：降维.两种投影方式：正交投影与透视投影.在我们TEAM中易颖已经写了，我就不多说了，大家去看他的文章。投影坐标系->屏幕坐标系这是最简单的。2D坐标变换。也不多说。
转载文章2：http://www.xingousi.com/computer/computergraphics.htm
计算机图形学笔记(Part 1 )：计算机图形学透视投影变换原理及一点和两点透视
一、平行互分法
吴英凡所写的《透视作图的新方法——交点法体系》，其中谈到的平行互分法，还是有道理的。
其实简单点说，就是透视图上的两条“原来空间中的平行线”（在画面上透视投影为相交于灭点），通过其中一条透视投影直线的端点画另一条透视投影直线的平行线，必平行于画面；这第三条线在画面的透视投影的灭点必然在另一条透视投影线上。
二、透视投影变换学习总结
1、用多维数列表示低维空间坐标,加深理解齐次坐标表示法。
齐次坐标表示法可以方便地运算，同时形状不变。[x,y,z,0]表示一个无穷的点。
2、透视投影变换公式可以看成两个矩阵的乘积，其中一个做透视变换，另外一个作正投影
保留的z"值的确切含义：指的是在完全作完透视投影变换之前，仅作透视投影之后的一条线.
它的几何意义见李建平《计算机图形学原理教程》第44页。
3、左手和右手坐标系的坐标转换
“视点坐标系与一般的物体所在的世界坐标系不同，它遵循左手法则，即左手大拇指指向Z正轴，与之垂直的四个手指指向X正轴，四指弯曲90度的方向是Y正轴。而世界坐标系遵循右手法则的。”
4、视点坐标系的透视变换公式很重要！！王飞著计算机图形学书65页
5、z"值的确切含义：指的是在完全作完透视投影变换之前，仅作透视投影之后的一条线
三、两点透视的变换矩阵：
王飞编著《计算机图形学基础》的道理是：
从平面图形的平移、旋转、错切开始推导，两点透视的变换矩阵可以看成是：
物体本身有一个物体坐标系——xw,yw,zw，视点作为原点又构成一个视点坐标系——xe，ye，ze，物体坐标系z轴朝上，y轴朝向远处；而视点坐标系y轴朝上，z轴朝向远处。
这样，最终的二点透视状态可以这样取得，首先把物体的位置的物体坐标系表示法转化为视点坐标系的表示法（第一个矩阵），然后围绕视点坐标系的y轴旋转（第二个矩阵），然后在x，y，z方向上平移（第三个矩阵），最后做透视变换（第四个矩阵），它的原文是把平移放在第二步，我在平移之前转动，目的是保证了物体旋转的轴在离它不远的地方：
我使用的矩阵变换如下，原文是是把平移放在第二步：
[xw,yw,zw,1]* ***
最后所得结果是一个新的矩阵，
[xe ye ze 1]=[cos*xw-sin*yw+l zw+m 2sin*xw+2cos*yw+2n-d (sin*xw+cos*yw+n）/d]
把最后一项变成1，可得
=[(cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n (zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n) （2sin*xw+2cos*yw+2n-d）*d/(sin*xw+cos*yw+n) 1 ]
即：
Xe= (cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n)
Ye=(zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)
Ze=(2sin*xw+2cos*yw+2*n-d)*d/(sin*xw+cos*yw+n)
实际上我的delphi程序里面是这样的：
xe:=trunc((cos(angle)*eee[ii][k].X-sin(angle)*eee[ii][k].Y+l)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n));
ye:=trunc((hhh[ii][k]+m)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n)); //透视变换
//ze可以考虑使用作为消隐
Ze:=trunc((2*sin(angle)*xw+2*cos(angle)*yw+2*n-d)*d/(sin(angle)*xw+cos(angle)*yw+n));
四、通过变换过的两点透视的结果xe,ye，zw和*，反求原来的物体坐标xw,yw
即：xe,ye，zw和已知，求出xw,yw
根据：
Xe= (cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n) （1）
Ye=(zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n) （2）
Ze=（2sin*xw+2cos*yw+2n-d）*d/(sin*xw+cos*yw+n) （3）
（1）除以（2）得
Xe/Ye= (cos*xw-sin*yw+l)/ (zw+m)
(Xe*(zw+m))/Ye=cos*xw-sin*yw+l
(Xe*(zw+m))/(Ye* cos)=xw-tan*yw+l/cos
Xw=(Xe*(zw+m))/ (Ye* cos) - (ye*l)/(Ye* cos)+( sin*yw*ye)/ (Ye* cos)
Xw=(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos) (4)
由（2）得
Ye*(sin*xw+cos*yw+n)= (zw+m)*d
Ye*(sin*xw)+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d
把（4）代入上式得
Ye* sin*(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d
约去ye，得
sin*(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ cos+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d
tan*(Xe*zw+xe*m+ sin*yw*ye- ye*l) +ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d
tan*Xe*zw+xe*m *tan- ye*l*tan+ sin*tan*yw*ye+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d
(sin*tan*ye+ye* cos)*yw+ tan*Xe*zw+xe*m *tan- ye*l*tan+n*ye=(zw+m)*d
最后得
Yw=[(zw+m)*d- tan*Xe*zw- xe*m *tan+ ye*l*tan- n*ye]/ (sin*tan*ye+ye* cos) （5）
而前面已经得到
Xw=(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos) (4)
实际上相当于opengl里面的逆变换，从鼠标选中的屏幕位置来确定对应的三维空间中位置，opengl使用gluUnProject和gluUnProject4来计算。
