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高考数列10大题型篇1:《数列》在高考中常见题型分析
《数列》在高考中常见题型分析
2014-01-04 14:03:11
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在数学高考中，数列主要考查：已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项；由数列的递推关系求数列的通项公式．利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题；在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题；考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项的性质与证明；以数列为载体，考查数列求和的各种方法和技巧结合函数、不等式、方程、几何等知识，综合考查数列和式的相关性质，如和式的最值、单调性、不等关系式的证明等．根据我多年组织学生高考复习经验，现归纳其常见题型如下：
一、已知an与Sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型。
例：设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解： (1)令n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
两式相减得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，
因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．
所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，
当n＝1时也成立；
所以an＝3×2n－1－2.
二、将等差（比）数列求和公式与等差（比）数列的性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”结合命题．
例：在等差数列{an}中，已知Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n.
解: 设{an}的公差为d，则由Sn＝m，Sm＝n，
得
②－①得(m－n)a1＋·d＝n－m，
∵m≠n，∴a1＋d＝－1.
∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d
＝(m＋n)＝－(m＋n)．
三、运用公式法法、分组求和法、倒序相加法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等常见方法求和的题型在高考中频频出现。
例：设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
∴当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②
①－②得3n－1an＝，∴an＝.
在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，∴an＝.
(2)∵bn＝，∴bn＝n·3n.
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④
④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
即2Sn＝n·3n＋1－，∴Sn＝＋.
四、数列求和的考查是高考命题的重点，也常与求数列的通项一起考查。
例：已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
由题意，得
解得或
所以由等差数列的通项公式，可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)由(1)，知当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；(9分)
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5
当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|
＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋
＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式．
综上，Sn＝
五、以现实生活中的“增长率”、“贷款”等问题为背景命题，考查数列的通项、前n项和等知识．
例：某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
解： (1)由题意，
得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)，得an＝an－1－d
＝－d
＝2an－2－d－d
…
＝n－1a1－d.
整理，得an＝n－1(3 000－d)－2d
＝n－1(3 000－3d)＋2d.(10分)
由题意，得am＝4 000，
即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
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高考《数列求和》常见题型分析
2014-01-27 15:52:21
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《数列求和》是高考中常见题型，其主要方法为直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和、分组求和法、倒序相加法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等.一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和，现将其常见题型解法分析如下：．
一、分组求和：
例：求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1的前n项和Sn.
解 若a＝1，则an＝1＋1＋…＋1＝n，
于是Sn＝1＋2＋…＋n＝；
若a≠1，则an＝1＋a＋…＋an－1＝＝(1－an)，
于是Sn＝＋＋…＋＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝.
二：裂项相消法求和
例：已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求适合方程＋＋…＋＝的n的值．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.
当n≥2时，∵Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，
∴an＝an－1，∴＝.
∴{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故an＝·n－1＝2·n.
(2)∵1－Sn＝an＝n，
bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3n＋1＝－n－1，
∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.
解方程－＝，得n＝100
三、 错位相减法求和
例：已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解 (1)当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)，
a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，＝＝c3＝8，∴c＝2.
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
解得k＝2，∴an＝2n(n>1)．
当n＝1时，a1＝S1＝2，
综上所述an＝2n(n∈N*)．
(2)∵nan＝n·2n，∴Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，②
由面两个式子相减得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Tn＝2＋(n－1)2n＋1.
四、|分清{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系
例：在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.
解 (1)∵a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，
∴a＋2a4a6＋a＝100，∴(a4＋a6)2＝100，
又an>0，∴a4＋a6＝10，∵4是a4与a6的等比中项，
∴a4a6＝16，而q∈(0,1)，∴a4>a6，∴a4＝8，a6＝2，
∴q＝，a1＝64，∴an＝64·n－1＝27－n.
(2)bn＝log2an＝7－n，则数列{bn}的前n项和为Tn＝，∴当1≤n≤7时，bn≥0，∴Sn＝.
当n≥8时，bn<0，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn)
＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7)
＝－＋2×＝，
∴Sn＝
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