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篇一:[三视图还原技巧]高考数学中三视图还原空间几何体的解题技巧
考纲解读与命题趋势探究空间立体几何的三视图是高中数学新课程的新增内容之一，也是近几年全国各地高考的热点内容，考纲不仅要求学生掌握『画空间几何体的三视图』还要求掌握它的逆过程，前者比较容易掌握，后者对空间想象力较弱的同学来说往往无从下手，特别是复杂一点的问题更是怎么也想象不出来。Mr.Yang总结了一个简单可行的方法，虽不能解决所有三视图还原的问题，但对高中阶段的大部分问题都可解决，这里呈现出来，以期抛砖引玉，也请同行斧正。
一、简单几何体的三视图还原规律
复杂的几何体是由简单几何体组合而成的,简单几何的分类:柱体(圆柱和棱柱);椎体(圆锥和棱锥);台体(圆台和棱台);球体.要掌握复杂几何体的三视图还原,先要搞清楚简单几何体的三视图还原规律,一般情况下简单几何体的三视图还原有如下规律：
1. 三视图中如果其中两个视图是矩形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为矩形)那么该空间几何体为柱体.当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆柱，否则为棱柱.
2. 三视图中如果其中两个视图是三角形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为三角形)那么该空间几何体为锥体,当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆锥,否则为棱锥.
3. 三视图中如果其中两个视图是梯形(不要管内部的细节，只要外轮廓线为矩形就称该视图为梯形)那么该空间几何体为台体.当第三个试图两个同心圆时,该空间几何体为圆台,否则为棱台.球体的三视图很简单,这里就不加论述.以上规律简单好记,按照以上规律解决简单的三视图还原都不在话下,下面举例说明.
例1:(2013年全国高考陕西卷理科试题)若某空间几何体的三视图如下,求其体积 .
例2:(2012年全国高考江西卷理科试题)若某空间几何体的三视图如下,求其体积（ ）
例3:(2014年全国高辽宁卷理科试题)若某空间几何体的三视图如下求其体积（ ）
二、叠加式组合体的三视图还原方法
组合体的组合形式可分为三种:叠加式、切割式、综合式.切割式与综合式在高中阶段见到的不是很多,这里只对高中阶段出现较多的叠加式组合体的三视图还原方法进行论述.既然组合体是由简单几何体组合而成的,那么就可以“化整为零”,把组合体的三视图划分为一个个简单几何体的三视图,再分别根据这些简单几何体的三视图按照上面论述的简单几何体三视图的还原规律把它们还原成简单几何体,再“积零为整"，把这些简单几何体组合在一起就得了组合体的三视图.这样就将复杂的三视图问题转化成最基本的简单几何体的三视图还原问题来解决了,大大降低了对空间想象能力的要求,这一方法的难点在于如何把组合体的三视图划分为一个个简单几何体的三试图,该方法的具体过程如下：
1. 分线框.
一般从主视图入手,将主视图划分成一个个线框(一般是封闭的线框，但有时也可不完全封闭),这些线框就是组成组合体的一个个简单几何体的主视图.
2. 对投影.
在俯视图和左视图上把主视图中每个线框对应的投影找出来,主要是根据“长对正,高平齐,宽相等”和"三视图所反映的组合体各部分的方位”来找.
3. 识形体.
根据每一部分的三视图,逐个想象出每一部分所对应的几何体
4. 合起来,想整体. 每一部分的形状确定后,再根据各部分的相对位置关系组合成整个组合体的形状.下面看该方法在高考题中的运用.
例4 :（2015年全国高考天津卷试题）一个几何体的三视图如图4所示,则该几何体的体积为 .
解析:如图4所示,第一步:分线框. 将主视图分为上面一个直角梯形与下面一个矩形两个线框.第二步:对投影. 这里只须用长对正,高平齐就可找到相对应的投影,如图5和图6中的加粗部分相对应.
第三步:识形体. 由简单几何体三视图的还原规律知图5中加粗的三个视图对应的几何体为底面为直角梯形的直四棱柱. 图6中加粗的三个视图对应的几何体为长方体.第四步:合起来,想整体.由主视图知该组合体是一个底面为直角梯形的直四棱柱叠放在一个长方体上面组合而成的,如图7所示,进一步易求几何体体积为30.
如果不用此方法,此题对很多同学来说都是一道较难想象的题,但用了以上方法后就可以化整为零,化难为易,将复杂的三视图还原问题转化为基本的简单几何体的三视图还原问题,大大降低了难度.
例5 :（2015年全国高考山东卷试题）一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 .
解析:如图下所示,第一步:分线框. 将主视图分为上面一个等腰三角形,下面一个正方形两个线框.第二步:对投影. 利用高平齐知主视图中的三角形与左视图中的三角形相对应,主视图中的正方形与左视图中的正方形相对应,利用长对正知主视图中的三角形与俯视图中的圆和正方形都是对正的,那到底哪一个与它相对应呢?这还要结合三视图所反应的各部分的方位来判断. 主视图中三角形在上,正方形在下,这说明原几何体中三角形所对应的简单几何体在正方形所对应的简单几何体的上面.在俯视图中正方形在圆的里面而且是用实线画的,所以俯视图中正方形所对应的简单几何体在圆所对应的简单几何体的上面.因此主视图中的三角形与俯视图中的正方形相对应,主视图中的正方形与俯视图中的圆相对应,第三步:识形体.由简单几何体三视图的还原规律知两部分所对应的几何体分别为正四棱锥和圆柱. 第四步,合起来想整体,由主视图知该组合体是上面一个正四棱锥下面一个圆柱组合而成的.进一步易求答案为C.
篇二:[三视图还原技巧]三视图还原小技巧之锥体
今天我给大家带来一个解决锥体三视图还原的小技巧。大家都说，这部分内容需要天生的“立体感”，那我天生就“立体感”差，怎么办？这次课讲的小技巧就是专门解决这个问题的。让你不用空间想象力，就能够轻松得分。
下面我们通过例题来看一下，锥体三视图，是怎么不用空间想象力就能还原的。
例如 把这个三视图还原成立体图
在这个三视图中我们可以看到，原几何体的长、宽、高都是4，所以，我们可以用一个正方体作为载体，对这个三视图进行还原。
首先，画出一个正方体，
第一步，根据主视图，在正方体中画出主视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示。也就是说，主视图的四个顶点A,B,C,D一定是，图中红线上的点投影，所形成的。如果大家还是不明白的话，可以把四条红色线段想象成四根木棍，A"B"C"D"所在的平面看成是一堵墙，一束平行于木棍的平行光由前往后射入，那么，在A"B"C"D"这堵墙上，就会留下四个阴影，这四个阴影就是这四个木棍遮住平行光后在墙上留下的。大家看，连接这四个阴影所形成的图形，其实就是主视图的图形。
第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示。同样，我们可以把这三条蓝色的线段想象成三根木棍，正方体右边的侧面看成是一堵墙，一束平行于木棍的平行光由左向右射入，那么，在右边这堵墙上就会留下三个阴影，这三个阴影就是那三根木棍遮住平行光后在墙上形成的。
第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示。
最后一步，找到三种颜色的公共点，这些公共点就是原几何体的顶点，连接这些顶点，我们就得到了原几何体。
总结一下，这种方法的核心就是七个字：“三线交汇得顶点”。
下面我们应用这个技巧一起来练习一下
练习 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
根据题目可知，原几何体的长、宽、高分别为2、1、1，所以我们可用一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体作为载体对这个三视图进行还原。
首先，画出一个这样的长方体
正视图有四个顶点，A、B、C、D。画出它们的原象，所在的线段，用红色线段表示；
侧视图有三个顶点，A、B、C。画出它们的原象所在的线段，用红色线段表示；
俯视图有四个顶点，A、B、C、D。画出它们的原象所在的线段，用红色线段表示；
最后，将三条红色线段的交点作为顶点相连，所得到的图形就是原几何体。
篇三:[三视图还原技巧]赵国良老师：高考数学三视图难题，如何快速还原，如何求表面积
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高考数学三视图题目，考察的几率非常大，很少有不考这个题目的。
大部分三视图题是比较简单的，一眼就可以看出来原几何体是什么样的。
但是有些几何体是比较难想象的，那么有什么快速还原的技巧呢？
求体积或者棱长很好求，但是有的时候求表面积就比较麻烦点了。
几何体的俯视图就是几何体的底面，所以关键是能够确定几何体顶点的位置。
三视图中内部直线与边线的交点，再过这个交点做该面的垂线，顶点就在该垂线上。
表面积，侧面是直角三角形，面积很好求，有的可能是普通三角形，比较难求。
普通三角形的话，我们可以过顶点做底边的垂线，主要是需要先求出这个底边的高。
先过顶点做底面垂线，连接两个垂足，在这个直角三角形中秋底边的高。
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第一道高考真题：
2014一卷理
要想求出最长的棱的长度，首先要确定最长的棱是哪一条，或者首先能够还原出几何体直观图。
所以最关键的在于，找到这个几何体是以谁为底面，以谁为顶点。
因为三视图中，只有正视图内部有直线，所以想要找顶点，就需要利用这一个图找。
两个交点分别是左上角的顶点，和右边的直角边的中点。
过左上角的顶点向外做垂线，如果顶点在这条垂线上，很显然左视图上边的斜边应该是水平的，同样俯视图的右边直角边应该在左边。
所以，很显然顶点不再左上角这个交点的垂线上，那就是在正视图右直角边中点垂线上。
稍微想象一下就知道，此时左视图和俯视图都是符合条件的。
顶点到正视图右直角边中点的距离也可以直接读出来，所以几何体就知道是什么样子了。
【正常情况下，都是树立摆放，这个是横着放，相当于把底面用胶粘在墙上，顶点墙外伸出来】
剩下的计算就很简单了，反复利用勾股定理即可。
第二道高考真题：
2012北京文理科
这个题目难度是比较大的，还原的话还可以，但是表面积比较难求一些。
根据我们之前总结的规律，首先要确定几何体顶点在哪儿。
因为只有俯视图内部有直线，所以顶点，要么在俯视图右下角的垂线上，要么在上面直角边与直线交点向上做的垂线上。
再根据侧视图，很显然应该是上面直角边与直线的交点向上做的垂线上。
画出来的直观图，如右边图所示。
求表面积的话，需要求出每个面的面积，很显然其他三个面都是直角三角形，面积很好求。
只有三角形APC这个侧面不是直角三角形，所以想要求面积的话，我们可以作PE垂直于AC。
AC边很好求，主要是求出PE的长度。
按照我们总结的，可以先连接DE，在直角三角形PDE中利用勾股定理求出PE的长度。
这样的话，表面积都出来了。
第三道真题：
2015北京文
这个题，如果不利用我们总结的规律，想要想象出来原几何体是什么样的也是比较有难度的。
如果利用上我们总结的规律就非常简单了。
顶点，要么是在俯视图左上角往上的垂线上，或者右下角往上做的垂线上。
如果左上角往上的垂线上，那么正视图右直角边，应该是在左侧，同样侧视图的底直角边应该在上边。
所以，很显然这是一个底面为变长为1的正方形，顶点射影在右下角，且高为1的四棱锥。
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