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双曲线离心率篇(1):等轴双曲线的离心率？
答：
等轴双曲因其结构简单，性质特殊，因此备受高考命题者的青睐。等轴双曲线单独出题的情况较少，主要与其他知识点结合考查。
一·等轴双曲线的概念
二·等轴双曲线的性质
等轴双曲有许多有趣的性质，这里主要列出几个常用的性质。
三·典型例题剖析
值得说明的是，双曲线在高考中降低了难度，不再考查解答题，不过作为小题却是每年必考，尤其是考查与离心率或渐近线相关的问题。
另外，双曲线中还有一类特殊的双曲线——共轭双曲线，它也具有许多特殊的性质，我们将在共轭双曲线部分进行探讨。
以上，祝你好运。
双曲线离心率篇(2):例谈双曲线离心率的求解策略
文 | 苏艺伟
双曲线的离心率是双曲线一个非常重要的几何性质，求双曲线的离心率或者取值范围经常出现在各级各类的试题当中。其求解方法较多，没有固定的模式可套，要结合具体的问题具体分析。在长期的教学实践中，笔者总结了几类较为常见的双曲线离心率问题及其求解策略，现说明如下。一利用结论识记双曲线中一些常见的结论，能够帮助我们迅速求解离心率，事半功倍，省去了很多计算上的麻烦。以下结论需要熟记。二利用平面几何知识借助平面几何的相关性质可以巧妙求解双曲线的离心率，往往能够化繁为简，柳暗花明。1三角形的相似性质在解题中经常可以得到两个三角形相似，然后利用相似比得到线段的关系，从而求出离心率或取值范围。2三角形中位线的性质一方面，由三角形的中位线可以得到两直线平行及成倍数关系，另一方面，如果已知平行且一边有中点，可以得到另外一边也有中点。3直角三角形的勾股定理借助直角三角形的勾股定理可以得到线段长，从而求出离心率。4三角形的角平分线定理5菱形的判定定理与性质定理
在双曲线的图形中可以构造出平行四边形或者菱形，要熟记平行四边形以及菱形的判定定理和性质定理。三从设角度入手在双曲线中，两渐近线所成的角是其中一条渐近线与轴所成的角的两倍，恰好可以利用二倍角的相关公式求解。因此可以从设角度入手解决离心率问题。四利用向量的线性运算对于某些求解离心率的试题，借助向量的线性运算，可以减少计算量，提高解题速度。五利用双曲线的第二定义根据双曲线的第二定义可知，双曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率。借助这一性质可以巧妙求解过焦点的同支弦的定比分点问题。
双曲线离心率篇(3):双曲线
双曲线
目录
定义
● 双曲线的第二定义:
·几何性质：
双曲线的标准公式为：
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定义
数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离的差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。
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● 双曲线的第二定义:
x=a^2/c (c>a>0)
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
注意：定点要在直线外；比值大于1
·双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a
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·几何性质：
1、取值区域：x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；
B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。
4、渐近线：
横轴：y=±(b/a)x
竖轴：y=±(a/b)x
5、离心率：
e=c/a 取值范围：（1，+∞)
6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率
7 双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离。
过右焦点的半径r=|ex-a|
过左焦点的半径r=|ex+a|
8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等
2a=2b e=√2
9 共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共轭双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2
10 准线： x=±a^2/c,或者y=±a^2/c
11。通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：2b^2/a
12.焦点弦长公式：2pe/(1-e^2cos^2θ) [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]
13.d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
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双曲线的标准公式为：
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 x=0, y=0 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是 y=x, y=-x
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数
