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高等数学极限篇(一):高数中的极限定义是个什么鬼？
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上回说到高数的特点, 今天举一个简单的例子让大家感受一下. 看下面的定义:
看了这个定义以后, 一个正常的心理是这样的:
别急, 听我细细道来. 其实这个定义说的是特别简单的一件事, 就是当n趋于无限大时, 这个数列的数无限接近于A的意思. 举个粟子, 对于数列
我写出它的前几项:
2, 1.25, 1.1111, 1.0625, 1.04,
1.02778, 1.0104, 1.015625, ...
看, 这些数是不是无限接近于1呢? 你也可以多算几项, 这个规律更明显. 所以在这个粟子中, 我们可以说: 这个数列的极限是1.
接下来有两个内容:
●为什么要用这么复杂的方式来定义这么简单的一件事
●这个定义该怎么理解
基于你们更喜欢听故事, 就先说说为什么要采用这个复杂的定义.
01为什么要用这么复杂的定义呢?
是啊, 这么难理解, 为什么我们不这样定义呢:
若一个数列的项无限接近于A, 则称A是这个数列的极限.
这样多好理解啊!
这要追溯到17世纪. 当时, 牛顿等一大批欧洲数学家大力发展了一套数学方法, 这套方法包括了极限和微积分等工具. 数学的这一次突破在人类历史上具有非常重要的意义, 直接导致了随后的工业革命. 可以说我们现在生活在的各种便利, 生产力的各种强大, 对其他动物的各种优势, 都离不开那一次数学上的突破.
在这部分数学发展的初期, 各种定义就是怎么直观怎么来的. 但是这样带来了很多不严谨. 例如上面的定义, "无限趋于"这个词, 就是很含糊的, 或者说, 不够精确. 本来这也没什么, 反正 大家都知道是什么, 能够计算就行了. 但是后来, 牛顿的同胞, 英国的一个大主教, 乔治·贝克莱, 为了维护神学, 抨击数学, 利用了当时数学当中的很多不严谨定义, 找到了很多要害. 他收集了很多这些问题, 专门写了一本书, 书名很长, 叫做
《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》
那个不信神数学家指的就是牛顿, 牛顿是当时数学界的代表人物, 分析学就是指这套新发展的数学理论. 这个书名我翻译成人话, 就是
你们这些分析学家啊, 还好意思说我们神学太神秘, 故弄玄虚, 看, 你们的分析学又好到哪里去? 我看了下你们的理论, 随便就发现很多问题了, 都够写成一本书了. 你们数学也是在故弄玄虚, 凭什么不信我们神学! 你们啊, 拿衣服!
新鲜事物的发展肯定不是那么容易被接受的. 贝克莱主教虽然是神学人物, 但是书中的批评却切中了要害. 很多数学家谎了, 感觉到数学的基础出现了问题, 就好像大厦的地基没打好, 数学的大厦摇摇欲坠. 数学史上称贝克莱主教提出的问题为"贝克莱悖论", 对数学的冲击称为"第二次数学危机".
那么, 数学是不是就落败了呢? 没有, 这个事件(以及其他一些事)让数学家认识到了, 各种定义不能像以前那样乱来了, 必须严谨化. 于是, 在柯西等人的努力下, 数学概念都用严谨的方式表示出来, 从此数学成为了最严谨的学科. 于是, 数列的极限就变成了一开始那样定义了. 贝克莱们再也没有办法从这个角度攻击数学了.
总结一下, 为什么要这么晦涩地定义数列的极限, 是因为:
严谨
否则数学的根基会不牢固, 会出现很多问题.
贝克莱主教的目的虽然是抨击数学, 但是客观上也促进了数学的发展, 因此, 数学史上应该有他的名字.
02怎么理解这个定义?
这部分估计看的人不会多, 我就随便说说吧. 主要理解一下"无限接近"是怎么体现出来的.
"无限接近", 就是"要多接近有多接近"的意思, 相差很小就"接近"的意思了, 相差再小都可以, 就是"无限接近"了.
首先把粟子中的数列化简为
好, 我想说明这个数列的极限是1. 要无限接近于1吧, 好, 你要多接近? 相差0.01? 在第10项之后, 这个数列的每一项都和1相差小于0.01. 也就是:
嫌不够接近吗? 好, 相差0.001也行, 32项之后就是:
经过严谨的推理, 可以得出一个结论: 不管相差得再小, 总能够在某一项之后实现, 也就是说不够再小的正数ε, 都能找到一个N, 在第N 项之后, 相差小于ε.
看, 这不就是本文一开始的定义吗? 所以说, 这个定义既严谨又准确地把数列的极限描述出来了.
高等数学极限篇(二):高数求极限
假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先 对 极限的总结 如下极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！） 必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中 13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法， 就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。 15单调有界的性质 对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！16直接使用求导数的定义来求极限 ， （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意） （当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
（从网上发现，谢谢总结者
高等数学极限篇(三):高数中求极限的16种方法——好东西
高数中求极限的16种方法——好东西
假如高等数学是棵树木得话，那么
极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？
各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先 对 极限的总结 如下极限的保号性很重要
就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的，
是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，
（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者
（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他 法则
（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近
而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，
直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他
法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以
无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ，
（ 这就是为什么只有3种形式的原因，
LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式
(含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开
ln1+x展开 对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则
最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单
！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，
尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数
可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）
（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数）
（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系，
已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2
个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大
无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11
还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方
快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数
（画图也能看出速率的快慢） !!!!!!当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了12
换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中 13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法
，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法， 就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。
一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质 对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！16直接使用求导数的定义来求极限
， （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，
看见了有特别注意） （当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
（从网上发现，谢谢总结者
