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数学思想篇(1):数学四大思想方法
数学思想方法
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；
函数与方程
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
等价转化
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
分类讨论
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
数形结合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
数学思想篇(2):吴国平：不管你数学曾考过多少分，很可能都白学了
吴国平07-24 08:19 大
不管你爱不爱学习，爱不爱数学，读书年代数学考试考几分，毕业之后参加的工作是跟数学有直接关系，只要聊起数学很多人都会感慨万分。特别是在中考、高考冲刺复习阶段，天天刷题的日子，现在想想也是别有一番滋味。
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对于数学这门学科，不管你喜不喜欢，它都是每个人从小学到高中必学科目，甚至在大学里，很多专业都必须学习数学。
虽然数学是必学科目，大家也知道数学这门很重要，但为什么参加工作多年后，我们再回顾数学，脑袋是空空的呢？甚至大部分人觉得只要掌握加减乘除便可，不需要掌握更深的数学知识，为什么会产生这样的偏见呢？
数学，曾几何时是为了促进社会发展，为了让我们的生活变得更好慢慢被先人发现和创造出来。反而在物质文明高速发展的今天，很多人却对数学重要性的认识处于历史低谷期，觉得数学就是考试的工具，而不是解决生活问题和促进社会发展的工具。
产生这样的偏见，归根究底，还是我们的数学教育出了问题。回顾我们的数学学习，不可否认，在很多人眼里成了考试的工具，而不是解决生活问题和服务生活的工具。因此，很多的数学学习只要成绩好就行，为了好成绩不断刷题做题，一直做到“麻木”。这种以高强度训练来换取好成绩，从某种角度来说，确实能帮助很多人考上理想的学校，但同时也“毁”了数学学习的精神，如忽视数学最重要的核心：数学思想方法。
数学思想方法是数学的灵魂与精髓，无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，数学思想方法都被广为使用。
在中学教育阶段的《数学课程标准》就将数学思想方法列为数学学习目标之一。《课程标准》就具体指出：“数学的基础知识，主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法”。
为什么很多人会说毕业之后感觉数学无用呢？这是因为我们的数学学习活动，首先是学会掌握知识点，其次运用知识点去解决问题，这是数学的外在形式。纵观很多人的数学学习，永远只停留在这个“外在形式”，因只想通过做题刷题来提高成绩，只要成绩提高，数学学习很少有人会深入。
同时，我们要认识到的是数学思想方法是数学的内在形式，不容易被发现和理解，即使去用语言描述，我们也只是大概的了解表面，很难深入学习。
因此，如果一个人要感受到数学的伟大，或是去感受数学对一个人影响有多大，那么就必须去掌握和运用数学思想方法，去把数学思想和方法学好。我们一旦掌握了数学思想方法，数学学习就会触类旁通，提高数学能力，相应数学学习就会变的简单。
其实数学思想方法是揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
当我们的数学学习如果只处于刷题出成绩的时候，那么数学思想方法很可能对于你来说，就是“白学”，没有学到任何思想方法。
下面我们就一起来简单的认识一些数学思想方法，具体可以分为数学思想和数学方法两个方面内容：
一、什么是数学思想？
数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锻炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。例如，字母代数思想、化归思想、极限思想、分类思想等。
二、什么是数学方法？
数学方法是指在数学地提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。如递推模式、一般化、特殊化等。
永远记住：数学思想方法是数学的精髓。
数学思想方法可以让我们的数学变枯燥为有趣，让数学脱离抽象等等。因此，在数学学习过程中，我们除了进行习题训练来巩固数学知识，通过习题训练来提高数学成绩，更重要在解题过程中学会提炼数学思想，体会数学思想方法，最终掌握数学思想方法。如数学学习中常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
自白一点就是，虽然大家学习数学都是先学习知识点，再通过习题训练掌握知识点，最终运用数学知识去解决实际问题，其实这本质上就是体现数学思想方法的运用。
数学对一个人的影响恰恰是在解题过程中，你所采用的思想方法，进行的思维方式等等这些，都直接或间接的影响人们的思维方式，久而久之影响人们的生活方式乃至生存方式。
因此，当我们感叹毕业多年数学无用的时候，就回过头想想自己的数学学习行为，是否是正确的？是否有认真去对待数学这一门学科？如果只是做题来提高成绩，真的算不上真正的数学学习。
数学思想篇(3):数学思想方法与数学教学
为适应当今信息时代发展要求，在全国高校工科数学课程教学指导委员会（以下简称指导委员会）指导下，工科数学教学改革在全国工科院校已陆续展开，特别就加强数学思想方法教学进行了专门讨论，并且在教学实践过程中取得了显著效果，比如北京科技大学提出的“主结构定向教学法技术”经过教学实践检验是一种有效的教学模式，并且在该校已由点推广到面。本文从数学思想方法与数学知识间的关系问题出发，提出了“强化思想方法，淡化知识形式”的教学原则，进一步提出了相应的“整体结构”教学法，通过试点班试验，这种教学法是切实可行的。
一、对数学思想方法的认识
有许多学者将数学思想与数学方法分开来研究，并认为数学思想是“数学的灵魂”，数
学方法是“数学的行为”，“是达到某种目的的途径、手段和方式的总和”。做这样的区分无疑有助于我们对数学思想方法的深刻理解，但随着数学研究的不断深入及交叉科学的不断孕生，对数学思想及数学方法作严格区分就比较困难了。比如，“极限”理论是渗透在微积分学中的基本数学思想，是贯穿连续性、可微性与积分的一条红线；而从解题角度讲，利用“极限”理论可解决许多数学问题。我们自然要问：极限是一种数学思想还是数学方法？作这样的区分有没有实际意义？笔者不想对此作进一步讨论，但期望将数学思想方法作为一个整体来研究，解恩泽、徐本顺教授就是这样处理的，他们认为：“数学思想方法就是指数学本身的论证、运算以及应用的思想、方法和手段”，除此之外，“还应把关于数学（其中包括概念、理论、方法与形态等）的对象、性质、特征、作用及其产生、发展规律的认识，也作为自己的研究对象”。
从方法论角度讲，数学思想方法可分为：逻辑方法、解题方法和发现方法。逻辑方法主要有：分析法、综合法、演绎法、同一法、比较法、反证法等等；解题方法是指数学解题中直接用到的思想方法，比如微积分中有“极限法、换元法、分部积分法、待定系数法、元素法（也称为微元法）、常数变异法”等，还有一些解题技巧法，比如代换法、微分方程法等。发现法是指数学创造或数学发现中常用的方法，如“归纳法、探测性演绎法、类比法、实验法、关系映射反映法、一般化与特殊化法、公理化法、审美方法等”。在数学研究和解题中，发现法指导主体在已有数学实践基础上“触景生情”，是“脑风暴”的直接结果，据此主体再借助于逻辑方法，以解题方法为基本工具验证或解决产生的“情”。三类数学思想方法的关系可表示为：发现法→(逻辑方法) →解题方法。可见，发现法是数学研究和解题的中心指导方法，而逻辑方法和解题方法只不过是对由发现法得到的结果的逻辑验证和推演、完整的数学知识体系都是发现法的结果。正因为此，指导委员会在1997年5月制定的“关于一般院校工科数学课程建设与改革的几点意见”（以下简称意见）中指出：在教法改革方面，教师要充分调动学生主动学习的积极性，配演学生的创新意识和创新能力。培养学生的创新意识和创新能力。培养学生的数学发现能力正是我们面向21世纪数学教育的主要目标。
二、数学思想方法与数学知识间的关系
数学知识中渗透着数学思想方法。纵观数学发展史可见，数学知识的每一进步都是与教学思想方法的产生密不可分的。在18世纪末之前，作为丈量土地观察天象的几何知识是凌乱的，不系统的，古希腊的亚里士多德与欧几里得为将这些几何知识系统化，提出公理化方法，所以公理化方法是渗透在初等几何知识中的基本思想方法。为解决数学证明中的不严格问题，法国数学家帕斯卡提出了数学归纳法。在近代数学中，为解决微积分中出现的逻辑矛盾，法国数学家柯西与德国数学家魏尔斯特拉斯等人，提出了具有深远意义的极限与集合论的思想方法。从现代数学发展状况看，随着数学科学与其它科学的交叉，引出了许多思想方法，如数学物理方法、控制法、泛函法等。所以每类数学知识的进步与完善，都是数学思想方法的孕育、产生与发展的结果。
数学思想方法统摄着数学知识间的有机联系。因产生于某类数学知识的思想方法又可指导人们去研究其他数学问题，所以同一数学思想方法既可能分布在同一知识体系中，也可能分布在不同学科中。比如，德国数学家希尔伯特在其《几何基础》中，将公理化方法深入地应用到数学的更多分支中；为解决高次代数方程的求解问题，由法国青年数学家伽罗尔提出了群论思想并成功地解决了高次代数方程的一般求解方法，而在现代数学中，群伦思想方法又很好地应用在代数拓扑学、函数论、泛函分析等许多领域中。
综上可见，数学知识与数学思想方法二者相互依存，相互渗透。但加强思想方法教学要比单纯的知识传授重要的多！对此日本著名数学家米山国藏做过这样的精辟论述：科学工作者所需要的数学知识相对地说是不够的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必要的；数学知识可以记忆一时，但数学精神、思想与方法却永远发挥作用，可以受益终生，是数学能力之所在，是数学教育根本目的之所在。我国的教育发展史也告诉我们，只有加强思想方法教学才能提高学生的素质，才能将他们培养成跨世纪的“智能型”人才。对此指导委员会在“意见”中特别强调：“为了面向21世纪，工科数学教学必须改革”、“要改变单纯的知识传授”，“在传授知识的同时要注意培养能力，注重素质教育，这一点应该放在首位”。
三、加强思想方法教学
1．教学原则
将数学思想方法教学与数学知识的传授同步进行，用数学思想方法为线索，淡化数学知识表述形式。
数学思想方法与数学知识间的相依关系决定了思想方法与知识传授同步进行，只有这样才能使学生弄清知识的来龙去脉，才能灵活地运用数学并进行数学创造。因数学知识间的联系存在着广义划归，而思想方法正是这种划归的“金钥匙”，所以我们可用思想法统摄各知识点间的有机联系，明确了知识点的来路及走向，淡化了其具体的表述形式，从而加大了课堂信息量，这正是“意见”中所提出的教学要求。
2．具体实施方案
（1）教师备课。教师在上课前，首先要熟悉教材，并对教材中每一章、每一单元中所反映的思想方法抽象出来，并用简短语言表示出来。若不同章节中具有同一思想方法模式，教师授课时，要注意淡化知识的传授方式，不要面面俱到地去讲解，要以思想方法为红线，充分发挥学生的想象力，调动其学习积极性。（2）教师授课。教师先用思想方法为线索，就所授章节知识点作简略介绍，让学生头脑中产生一个“整体联系”观；其次以每一章中的重要概念、定理为突破口展开具体教学，期间要注意用数学思想方法传授知识点的来龙去脉，展示其发生过程；最后将每张或每单元中的知识点用思想方法贯穿起来，并将思想方法明晰在黑板上，教学实践表明，这种“整体——局部——整体”教学法确实扩大了学生的认知结构，提高了其正迁移力。（3）作业。老师布置的作业不要太多，根据所授思想方法，每种方法的应用题在2～3个为宜，这样既复习了所学基础知识，又掌握了所学思想方法。（4）教师的课后指导。因工科院校培养的学生是未来的高级工程技术人才，要求具有较强的用数学知识解决实际问题的能力，所以教师要根据学生的不同数学水平，布置一些具有不同层次的开放性试题以便培养学生的数学建模能力，这是培养学生利用思想方法解决实际问题的有效手段，我们在我院94级试点班的具体实践中证明了这一点。另外，教师还要不定期的想学生介绍一些数学史方面的知识，介绍国内外著名数学家的数学创造心智，以此来培养学生的学习兴趣及其创造力。
3．基本要求
数学教师除了具有较高的数学知识水平外，还必须学习和研究数学方法论、数学教育概论、思维学、心理生理学、数学哲学等专著，掌握数学思想方法与数学教育及数学思维规律间的关系，这是从事数学教育工作的必备知识。此外，为加强数学思想方法教学，数学教师还要加强自身的科研能力，这是因为科研方法与教学方法是统一的整体。
