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一：[高阶导数]高等数学：高阶导数是什么？
在大学阶段，我们所要学的内容会进一步深化，对于导数而言，亦是如此。以前我们所学的知识，只是“一阶导数”，今天我们就来看看更加高等的导数——高阶导数。
什么是高阶导数呢？就是我求完一次导数之后，我再求一遍导数的导数，以此类推，我求了几遍它就叫几阶导数。具体用符号怎么写，我先举几个例子之后再讲。举个例子（下面的几个例子我都只求到二阶）：
它的导数就是y′=3，但是我要是再求一遍导数（求y′=3的导数）那就是0了。再换个例子：
它的导数为y′=6x+4，还是再求一遍导数，y″=6。最后再看一个三角函数的：
这个我们都应该背过，它的导数没有什么说的就是cosx，二阶导数就是-sinx。
举了这么多的例子，我就是为了让你能够更好的理解它的符号：
大家可能对y″比较容易理解，可是对d²y/dx²不太明白，你可以这样来理解，由于我求导的对象始终为x，所以分母的平方可以放在x上，而我求导的对象y却在不断地改变（一阶导数求导对象是原函数，二阶导数求导对象为一阶导数，以此类推），那么平方就不能放在y上了，就只能放在d上了。
其实，有很多知识，我们可以这样理解性的去记忆。最后谢谢大家的阅读，祝愿同学们学有所成！
二：[高阶导数]常用高阶导数公式
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三：[高阶导数]第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
教学目的与要求
22学时
1、
理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、
熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、
了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、
会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
第一节 导数的概念
一、导数的定义
我们先看下面两个例子:
1.
求变速直线运动的瞬时速度
设物体沿直线做变速运动，其规律为. 其中s 表示位移，t表示时间，是连续函数. 求物体在某时刻运动的瞬时速度.
当在取得增量时,则在到的时段内，位移的增量为.
称为到这个时间段内的平均速度.容易看出，当越小时，平均速度将越接近于瞬时速度，当无限趋近于零时，平均速度将无限趋近于瞬时速度. 为此，瞬时速度定义为平均速度当时的极限。即
平均速度称为位移s在到时间段内的平均变化率，而瞬时速度, 则称为位移s在时间的
（瞬时）变化率。
2. 曲线上的切线斜率
图 2-1
如图2-1所示，设曲线C的方程为，PQ为其上连接点与点的割线，其斜率为
当点Q沿曲线C无限接近于点P时，就相当于Dx?0，此时割线PQ也随着变动而趋向一个极限位置----直线PT，我们称直线PT为曲线上点P处的切线，同时割线PQ的倾斜角趋向于切线PT的倾斜角a，因此切线PT的斜率为
由以上两个例子我们看到了用极限的方法处理非均匀变化量的优越性.尽管它们的实际意义不同，但从数学关系来看，它们有着共同的特点：都是求出函数的增量与自变量增量之比，当自变量增量趋于零时的极限. 在自然科学和工程技术中，还有许多要加以研究的量都可以归纳为上述形式的极限，这就得到微积分学的一个重要概念——导数.
定义 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果函数的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)与自变量的增量Dx的比值
当Dx0时有极限，则这个极限值就叫做函数y=f(x)在点x0处的导数，记为，即
也可以记为.
如果函数y=f(x)在点x0处有导数，就说函数y=f(x)在点x0处可导. 如果上式极限不存在，就说函数y=f(x)在点x0处不可导. 如果不可导的原因是当Dx0时，为方便起见，也说函数y=f(x)在点处的导数为无穷大.
如果函数y=f(x)在区间(a, b)内的每一点都可导，就说函数在区间(a, b)内可导. 此时，对于区间(a, b)内的每一个确定的x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了一个新函数，这个函数叫做函数y=f(x)的导函数（习惯称为导数），记作
即
显然，函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数在点处的函数值，即
由导数定义可知：
(1) 变速直线运动的速度v(t)是路程s(t)对时间t的导数，即
.
(2) 曲线y=f(x)在点M(x0
,y0)处的切线斜率为
.
二、几个基本初等函数的导数
由导数的定义知，求函数y=f(x)的导数可以分为以下三个步骤：
第一步 求增量：Dy=f(x+Dx)-f(x)
第二步 算比值：
第三步 取极限: =
应用上述三个步骤，我们来求几个基本初等函数的导数，得出的结果以后可作为公式使用.
例1 求函数=C(C为常数)的导数
解
求增量：因为无论x取什么值，y的值恒为常数C，所以有Dy=f(x+Dx)-f(x)=C-C=0
算比值：
取极限：
即：
这就是说，常数的导数等于零.
例2
求幂函数()的导数
解 求增量：
算比值：
取极限：
即
一般地，对于幂函数y=xa（a是任意实数）有导数公式
例3 利用幂函数的求导公式求下列函数的导数.
(1) ; (2) .
解 (1)
(2)
例4 求的导数
解 求增量:
算比值:
取极限:
=
所以
请读者用同样的方法推出= -.
例5
求的导数
解
求增量：,令,则,
当时,于是
算比值：
取极限：
=
=
即
特别地有
类似地, 可以求出对数函数的导数, 特别地有
三、导数的几何意义
由本节曲线上的切线斜率的例子可知导数的几何意义是: 函数f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=f(x)在点(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
由此可知，曲线y=f(x)上的点(x0
,f(x0))处的切线的斜率为
切线方程是：
过点(x0 ,f(x0))且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在该点处的法线，其方程是：
例6 求曲线在点P(-1,-1)处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义可知，曲线在点P(-1,-1)处的切线斜率为
所以，所求切线方程为 y+1=3(x+1)
即
3x-y+2=0
法线方程为
y+1=(x+1)
即
x-3y-2=0
例7 曲线上哪一点处的切线与直线y=3x-1平行？
解 已知直线y=3x-1的斜率k=3
由导数的几何意义知，曲线的切线的斜率为
根据两直线平行的条件，有
解此方程，得x=4
当x=4时y=8，所以曲线在点(4,8)处的切线与直线y=3x-1平行.
四、函数的可导与连续的关系
定理2.1 如果函数在点处可导, 则在点处连续
证明 因为在点处可导,所以有
于是
即函数在点处连续.
反之，从下面例子中我们可知函数 y=f(x)在处连续时，y=f(x)在点处不一定可导.
例8 讨论函数在点x=0处的连续性与可导性.
解 因为 y
所以点x=0处连续. 但是
o
所以不存在, 即点x=0处不可导.
这在图形中的表现为点x=0处没有切线(如图2-2所示)
例8中出现的极限称为函数在x=0点处的右导数,记为, 极限称为函数在x=0点处的左导数,记为.
一般地, 设函数在点处的某邻域内有定义,如果存在,则称之为在点处的右导数,记为; 如果存在,则称之为在点处的左导数,记为.
显然,当且仅当函数在某一点的左、右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的.
