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十字交叉法原理篇(一):数学运算—十字交叉法应用全攻略
数学运算—十字交叉法应用全攻略
(2011-01-15 19:53:24)
大部分人最早接触十字交叉法，是在化学课上，有关质量分数、平均分子量、平均原子量等的计算都可以用十字交叉法解决。而十字交叉法的应用不仅限于此，实际上，十字交叉法在行测考试中有着十分广泛的应用，凡是涉及同种物质加权平均的问题，都可以用十字交叉法来解。
一、十字交叉法的数学原理
很多人都用过十字交叉法，却不是所有人都知道它的由来或者它的数学原理是什么。下面以两种不同浓度的溶液混合为例，进行讲解。
将两种不同浓度的同种溶液（浓度分别为a、b，质量分别为A、B）混合，得到的混合溶液浓度为r=（Aa+Bb）/(A+B)，化简该式得到(r-b)/(a-r)=A/B，即将各部分的“平均值”和总体的“平均值”交叉做差后得到的比值与这两种溶液的质量之比相等。用十字交叉法表示如下：
质量 浓度 交叉做差
第一种溶液 A a r-b
r
第二种溶液 B b a-r
交叉做差后得到A/B=(r-b)/(a-r)。
二、十字交叉法在溶液混合问题中应用最多，可多次使用
例1：有浓度为4％的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10％，再加入300克4％的盐水后，变为浓度6.4％的盐水，则最初的盐水是：
A．200克 B．300克 C．400克 D．500克
（2007年广东省公务员考试真题）
解析：设x克10%的盐水与300克4%的盐水混合，得到6.4%的盐水，则有：
10%的盐水 x克 10% 2.4%
6.4%
4%盐水 300克 4% 3.6%
故有x/300=2.4%/3.6%，解得x=200，即10%的盐水质量为200克。
200克10%的盐水与y克的水混合，得到4%的盐水，则有：
10%的盐水 200克 10% 4%
4%
水 y克 0% 6%
故有200/y=4%/6%，解得y=300，即水的质量为300克。因此4%的盐水质量为200+300=500克，选D。
例2：一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?
A．14% B．17% C．16% D．15%
（2009年国家公务员考试真题）
解析：10%的溶液蒸发掉一定量的水浓度变为12%，可以看成12%的溶液与一定量的水混合得到10%的溶液，则有：
12%的溶液 12% 10%
10%
水 0% 2%
故12%的溶液与一次蒸发的水质量之比为10%∶2%=5∶1。5份浓度为12%的溶液蒸发掉1份水，浓度变为12%×5/4=15%。
【注释】与水或纯溶质混合是溶液混合中的特殊情况，用十字交叉法时，只需将水的浓度写为0%，将纯溶质的浓度写为100%即可。
三、交叉做差时一定要同时“大减小”或同时“小减大”
交叉做差时，a-r、r-b或者r-a，b-r，也就是说r做一次减数，做一次被减数。在这三个量都已知时，习惯是“大减小”；当这三个量中因有未知数而无法判断谁大谁小时，只要遵循r做一次减数，做一次被减数的原则即可。
例：一批手机，商店按期望获得100%的利润来定价，结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的91%，则商店所打的折是：
A．六折 B．七折 C．八五折 D．九折
（2009年江苏省公务员考试真题）
解析：设打折后的利润率为x，则有：
第一部分手机 70% 100% 91%-x
91%
第二部分手机 30% x 9%
故有(91%-x)/9%=70%/30%，解得x=70%，所以商店所打的折扣为(1+70%)÷（1+100%）=85%，故选C。
【注释】此处，91%与x交叉做差时如果写成x-90%，会导致结果错误。
四、根据r介于a、b之间，且A（B）越大，r越接近a（b）秒杀
利用此性质，可以迅速排除一些错误选项，甚至达到秒杀的效果。
例1：现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：
A．3%，6% B．3%，4% C．2%，6% D．4%，6%
（2006年浙江省公务员考试真题）
解析：从甲中取2100克，乙中取700克混合后浓度为3%，则甲、乙溶液浓度一定一个大于3%，一个小于3%，排除A、B、D，故选C。
例2：某城市现在有人口70万，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个城市现在城镇人口有（ ）万。
A．30 B．31.2 C．40 D．41.2
（2005年国家公务员考试真题）
解析：4.8%更接近5.4%，故农村人口多于城镇人口，排除C、D。将A、C代入验证，只有A项正确，故选A。
五、鸡兔同笼问题实质也是加权平均问题，可用十字交叉法来解
例：每只蜻蜓有6条腿，每只鸡有2条腿，已知蜻蜓和鸡一共有200只，且一共有600条腿，那么有多少只蜻蜓，多少只鸡？
A．40，160 B．50，150 C．60，140 D．80，120
解析：平均每只动物有600÷200=3条腿，则有：
蜻蜓 6 1
3
鸡 2 3
故蜻蜓与鸡的数量比为1∶3，蜻蜓有50只，鸡有150只，故选B。
六、平均增长率问题，利用十字交叉法时易出错
例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业生数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有：
A．3920人 B．4410人 C．.4900人 D．5490人
（2007年国家公务员考试真题）
解析：利用十字交叉法，有：
本科毕业生 -2% 8%
2%
研究生毕业生 10% 4%
所以2005年本科毕业生与研究生毕业生人数之比为8%∶4%=2∶1，故今年毕业的本科生有7650÷(1+2%)×(2/3)×(1-2%)=4900人，故选C。
【注释】此处，利用十字交叉法求出的人数比例是2005年的，不是2006年的。
熟练掌握十字交叉法后，遇到加权平均问题，可以利用它迅速理清思路，从而求出结果或列出方程，有效提高解题速度。当然，考生可以根据自身习惯，选择适合自己的方法。另外，对于已知A、B、a、b，求r的题目，可以直接列式求：r=(Aa+Bb)/(A+B)。
十字交叉法原理篇(二):化学十字交叉法原理是什么
1、十字交叉法的原理：A×a%+B×b%=(A+B)×c% 整理变形得:A/B=(c-b)/(a-c ) ①如果我们以100g溶液所含的溶质为基准,上式表示溶液混合时它们的质量比与有关质量分数比的关系.可得如下十字交叉形式a c-b c b a-c ②对比①、②两式可以看出：十字交叉关系中(c-b)/(a-c)为组分A和组分B混合时的质量比,推广到二组分混合体系中,当以一定质量的混合体系为基准所得十字交叉关系,其比值为质量比（例如质量分数是以质量为基准）；若有c-b比a-c的化学意义由平均值c决定,则比值就表示组分A中c-b和组分B中a-c所表示的量的比值.如c为质量或质量分数,则(c-b)/(a-c)表示组分A和组分B溶液的质量之比；若c为密度,则(c-b)/(a-c)就表示组分A和组分B的溶液体积之比；若c为摩尔质量,则(c-b)/(a-c) 就表示组分A和组分B的物质的量比.此时可用十字交叉法求混合物中各组分的含量.2、十字交叉法的应用例题：2.1 用于混合物中质量比的计算例1 将铝铁合金18.5克溶于足量的盐酸中产生标准状况下的氢气11.2升,求合金中铝铁的质量之比是多少?在标准状况下,求出氢气的质量m=1g,以混合物总质量18.5g作为基准物再根据镁铝与盐酸的关系列出十字交叉式如下： Al 37 / 18 19/56 1 Fe 37/56 19/18 求得铝与铁质量的比是9/28例2 镁和铝的混合物10g,与足量的稀硫酸充分反应,生成1.0g氢气,求混合物中镁和铝的质量比为多少? 在标准状况下,以混合物总质量10g作为基准物再根据镁铝与盐酸的关交叉式如下： Mg 5/6 1/9 1Al 10/9 1/6求得镁与铝的质量比是2/3例3 KHCO3和CaCO3的混合物和等质量的NaHCO3分别与盐酸完全反应时,所消耗的酸的量相等,则混合物中KHCO3与CaCO3的质量比是多少?由化学反应方程式:KHCO3+HCl=KCl+H2O+CO2↑CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑以消耗HCl物质的量1mol作为基准物, 求出反应掉KHCO3、CaCO3、NaHCO3的质量的数值分别为100g、50g、84g,依题意KHCO3和CaCO3的混合物84g与NaHCO384g均消耗1molHCl,即两个分量值分别为100和50,平均值为84,用十字交叉法图解如下:KHCO3 100 34 84 CaCO3 50 16因为是以物质消耗HCl的物质的量1mol为基准物,所以比值34/16=17/8为碳酸氢钾与碳酸钙消耗HCl的物质的量之比,故原混合物中碳酸氢钾与碳酸钙的物质的量之比为17/4,即质量比也为17/4（因它们的相对分子质量相等）.2.2 用于混合物中物质的量比的计算例4 在标准状况下,测得空气和HCl混合气体对氢气的相对密度为17,求空气和HCl气体的物质的量之比.混合气体的平均式量为17×2=34,以1 mol混合物为基准物则十字交叉法如下：空气 29 2.5 34 HCl 36.5 5求出空气与HCl气体的物质的量比是1/2例5 某Na2SO3已部分氧化成Na2SO4,经测定该混合物中硫的质量分数为25%,求混合物中Na2SO3和Na2SO4的物质的量之比 (整数比)?由平均质量分数25%,列出十字交叉法如下：Na2SO3 中 S % 25.397 % 2.465 % 25% Na2SO4 中 S % 22.535 % 0.397 %求得Na2SO3与Na2SO4 的物质的量比是6/12.3 用于混合物中体积比的计算例6 已知CH4, C2H4及其混合气体在同温同压下分别为 0.71g/L、1.25g/L、1.16g/L,求混合气体CH4和C2H4的体积比是多少?以1mol 混合气体密度1.16 g/L作为基准物 则十字交叉法如下：CH4 0.71 0.09 1.16C2H4 1.25 0.45求得CH4与C2H4 的体积比是1/3例7 已知 2H2(g)+O2(g)=2H2O(g),△H=-571.6千焦C3H8 (g)+5 O2(g)=3CO2(g)+4H2O(1), △H=-2220千焦求H2和C3H8的体积比.lmolC3H8完全燃烧放热为：571.6/2=285.8千焦lmolC3H8完全燃烧放热为：2220千焦lmol混合气体完全燃烧放热为：3847/5=769.4千焦列出十字交叉法如下：H2 285.5 1460.6 769.4C3H8 2220 483.6求得H2和C3H8 的体积比为3/1例8 一种气态烷烃和一种气态烯烃,它们的分子式中所含碳原子数相同,若l体积这种混合烃在O2中充分燃烧,能生成2体积的和2.4体积的水蒸气,则混合中烷烃和烯烃的体积比是多少?解:设混合烃分子式为CxHy、烷烃与烯烃的体积比为CxHy + 3.2 O2 = 2 CO2+ 2.4 H2O1 3.2 2 2.4根据原子守衡定理得混合烃分子式为C2H4.8 即氢的原子数是4.8.十字交叉法如下：C2H6 6 0.8 4.8C2H4 4 1.2求得混合物中C2H6和C2H4 的体积比是2/32.4 用于混合物中原子个数比的计算例9 已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素,而铱的相对分子质量为192.22,求这两种同位素原子个数比.以1mol铱的相对分子质量为192.22为基准则十字交叉法如下：191Ir 191 0.78 199.2 191Ir / 193Ir = 0.78 / 1.22193Ir 193 1.22求得191Ir与193Ir物质的量比为39/61,即它们原子个数比.2.5 用于混合物中质量分数和体积分数的计算例10 把0.200gNaCl和KI混和物溶于水后加入过量AgN03溶液析出0.449g,求原混和物中NaCl和KI的质量百分数.分别计算产生沉淀物的质量,根据化学方程式得：0.200gNaCl生成0.490gAgCl0.200gNaI生成0.283gAgI则十字交叉法如下：NaCl 0.490 / 0.200 0.1660.449/0.200 m( NaCl ) / m(KI) =0.166/ 0.041KI 0.283 / 0.200 0.041求得NaCl和KI的质量比是4/1,即他们的质量分数分别为80%、20%.例11 在标准状况下氢气和一氧化碳的混合气体7L,质量为2.25g,求H2和CO的体积分数?设混合气体的摩尔质量为M2.25/M =7/22.4L/mol M=7.29列出十字交叉法如下：CO 28 5.27.2 V( CO ) / V( H2 )=5.2 / 20.8H2 2 20.8求得CO与H2体积比是1/4 即它们体积分数分别是25% ,75% 例12 已知Fe2O3在高炉中发生反应Fe2O3+CO = 2FeO+CO2,反应形成的固体混合物Fe2O3、FeO中,铁和氧元素的质量比用m(Fe)∶m(O)表示.若m(Fe)∶m(O)=21∶8,计算Fe2O3被CO还原的质量分数.此题用方程式法甚为烦琐,用十字交叉法则非常简单.即：若Fe2O3全部被还原,则m(Fe)∶m(O)=21∶6;若Fe2O3未被还原,则m(Fe)∶m(O)=21∶9,列出十字交叉法如下：未被还原Fe2O3 9 / 21 2 / 21 8/21 被还原Fe2O3 6 / 21 1 / 21则未被还原的氧化铁与被还原的氧化铁的物质的量之比为2∶1,所以被还原的氧化铁的质量分数为1/3×100%=33.3%.例13 将20%NaCl溶液与60%NaCl溶液按质量比1∶3混合,计算NaCl溶液的质量分数.设20%NaCl溶液为mg,则60%NaCl溶液质量为3mg,设所得NaCl溶液的质量分数为x%列出十字交叉法如下：m 20% x%-60% x%3m 60 % 20%-x%则m/3m=(x%-60%)/(20%-x%)求出x=50,即NaCl的质量分数为50%通过上面的例题可以看出,十字交叉法简便、实用、易于操作,但值得一提的是：在运用十字交叉法进行运算时,必须满足它的运算基础.十字交叉法应用于处理两组分(或相当于两组分)的混合物的组成计算十分方便.不断积累、总结、发掘新的解题方法,可促进知识的有效迁移、同化和深化对问题的理解,提高解题的效率与正确率.有点多,你慢慢看,希望对你有用,祝你学业进步!
十字交叉法原理篇(三):十字交叉法原理及应用
通过一个例题来说明原理。 题目：某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （ A×75+B×85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-B CB A-C这就是所谓的十字相乘法。十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5答案：C分析： 男教练： 90% 2% 82%男运动员：80% 8%男教练：男运动员=2%：8%=1：42.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元， 每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2答案：B分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资 ：580 30 600 女职工工资：630 20男职工：女职工=30：20=3：23． （2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（ ）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6答案A分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=304．（2007年国考） 某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是： A ．84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分答案：A分析： 男女生比例为1.8：1平均分之比为X-75：75-X/1.2两个式子相等就可求出X=84X/1.2 X-75
