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北京高考数学真题【一】:2014年北京市高考数学试卷(理科)
2014年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
2
3．（5分）（2014?北京）曲线
（θ为参数）的对称中心（ ）
4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S
，S，S分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没
有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（
10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且
11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与渐近线方程为 _________ ．
12．（5分）（2014?北京）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= _________ 时，{an}的前n项和最大．
13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 _________ 种．
14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）=Asin（
ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞
0，ω＞0）若f（x）在区间[上具有单调性，且f（
三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（13分）（2014?北京）如图，在△ABC中，∠B=（1）求sin∠BAD； （2）求BD，AC的长．
，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．
）=f（
）=﹣f（
），则f（x）的最小正周期为 _________ ．
，
]
﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为 _________ ；
+=（λ∈R），则|λ|= _________ ．
）=
2
； （2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．
17．（14分）（2014?北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H． （1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
18．（13分）（2014?北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，（1）求证：f（x）≤0； （2）若a＜
＜b对x∈（0，
）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
]
19．（14分）（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4， （1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
20．（13分）（2014?北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数， （Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值； （Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）
﹣1
和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小； （Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．
2014年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
2
3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（ ）
4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
北京高考数学真题【二】:2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
1
3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
2
5．（5分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
3
7．（5分）（2015?北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（ ）
4
8．（5分）（2015?北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
5
北京高考数学真题【三】:2015年北京高考数学(理科)试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i?2?i?? A．1?2i
?x?y≤0，?
2．若x，y满足?x?y≤1，则z?x?2y的最大值为
?x≥0，?
B．1?2i C．?1?2i D．?1?2i
A．0
B．1
C．
3 2
D．2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A．??2，2?
B．??4，0?
C．??4，?4?
?8?D．?0，
4．设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??．“m∥?”是“?∥?”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
侧(左)视图
俯视图
A
．2 B
．4 C
．2? D．5
6．设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若a1?a2?0，则a2?a3?0 B．若a1?a3?0，则a1?a2?0
C．若0?a1?
a2，则a2 D．若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0www.shanpow.com_北京高考数学真题。
7．如图，函数f?x?的图像为折线ACB，则不等式f?x?≥log2?x?1?的解集是
A．?x|?1?x≤0? B．?x|?1≤x≤1? C．?x|?1?x≤1? D．?x|?1?x≤2?
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽
车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是www.shanpow.com_北京高考数学真题。
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在?2?x?的展开式中，x3的系数为5
．（用数字作答）
x2
10．已知双曲线2?y2?1?a?
0??y?0，则a?a
π??
11．在极坐标系中，点?2?www.shanpow.com_北京高考数学真题。
?到直线?cos???6的距离为3??
．
??
12．在△ABC中，a?4，b?5，c?6，则
sin2A
?sinC
13．在△ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC．若MN?xAB?yAC，则x?y?
?2x?a?x?1??
14．设函数f?x???
4x?ax?2a?x≥1.??????
①若a?1，则f?x?的最小值为
．
②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）
xxx
已知函数f(x)?cos2．
222
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期； (Ⅱ) 求f(x)在区间[?π，0]上的最小值．
16．（本小题13分）
A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果a?25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题14分）
如图，在四棱锥A?EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF?平面EFCB，EF∥BC，BC?4，EF?2a，?EBC??FCB?60?，O为EF的中点． (Ⅰ) 求证：AO?BE； (Ⅱ) 求二面角F?AE?B的余弦值；
(Ⅲ) 若BE?平面AOC，求a的值．
A
F
C
E
B
18．（本小题13分）
1?x
． 1?x
（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程；
已知函数f?x??ln
?x3?
1?时，f?x??2?x??； （Ⅱ）求证：当x??0，
3??
?x3?
1?恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得f?x??k?x??对x??0，
3??
19．（本小题14分）
x2y2
1?和点A?m，n??m≠0?都已知椭圆C2?2?1?a?b?
0?，点P?0，
ab
在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得?OQM??ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题13分）
?2an，an≤18，*
a…?． 已知数列?n?满足：a1?N，a1≤36，且an?1???n?1，2，
?2an?36，an?18
记集合M?an|n?N*．
（Ⅰ）若a1?6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
??
北京高考数学真题【四】:2015年北京高考数学文科试题及答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A?x?5?x?2,B?x?3?x?3,则A
??
??
B?（ ）
( A ) x?3?x?2 ( B ) x?5?x?2 ( C ) x?3?x?3 ( D ) x?5?x?3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
（A）?x?1???y?1??1 （B）?x?1???y?1??1 （C）?x?1???y?1??2 （D）?x?1???y?1??2
2
2
2
2
2
2
2
2
??
??????
（3）下列函数中为偶函数的是（ ）
（A）y?x2sinx （B）y?x2cosx
（C）y?lnx （D）y?2?x
（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）
（A）90 （B）100 （C）180 （D）300
（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6
（6）设a,b是非零向量，“a?b?ab”是“a//b”的（ ）
（A） 充分而不必要条件
（B） 必要而不充分条件 （C） 充分必要条件
（D） 既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
(A) 1 （B）
（B）
(D) 2
（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油
（A）6升 （B）8升 （C
）10升 （D）12升
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i?1?i?的实部为
?3
12
．
．
．
（10）2,log25三个数中最大数的是 （11）在?ABC中，a?3,b?
2
?A?
2?
,则?B?3
y2
（12）已知?
2,0?是双曲线x?2?1?b?0?的一个焦点，则
b
?b
（13）如图，?ABC及其内部的点组成的集合记为D，P?x,y?为D中任意一点，则z?2x?3y的最大值为 ．
（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是
． ．
三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数f?
x??sinx?（Ⅰ）求f?x?的最小正周期； （Ⅱ）求f?x?在区间?0,
（16）（本小题13分）已知等差数列?an?满足a1?a2?10,a4?a3?2. （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列?bn?满足b2?a3,b3?a7；问：b6与数列?an?的第几项相等？
2
x. 2
?2??
上的最小值。 ?3??
（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
（18）（本小题14分）如图，在三棱锥V?ABC中，平面VAB ⊥平面ABC，?VAB为等边三角形，
AC?BC,且AC?BC?O,M分别为AB,VA的中点。
（Ⅰ）求证: VB//平面MOC;
（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB; （Ⅲ）求三棱锥V?ABC的体积。
x2
（19）（本小题13分）设函数f?x???klnx,k?0。
2
（I）求f?x?的单调区间和极值；
（II）证明：若f?x?存在零点，则f?x
?在区间上仅有一个零点。
?
(20)(本小题14分)已知椭圆C:x2?3y2?3,过点
且不过点
的直线与椭圆交于
两点，
直线与直线.
（1）求椭圆的离心率；
（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。
