2016年北京市数学中考压轴题题

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2016年北京市数学中考压轴题题【一】:北京2016年数学压轴题

顺义一模28．如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC． （1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长； （2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明； （3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

A

P

A

P

B

图1

CB

图2

B

图3

C

29．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．

（1）①如图2，求出抛物线yx2的“完美三角形”斜边AB的长；

②抛物线yx2+1与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线yax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；

（3）若抛物线ymx22x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且ymx22x+n5

的最大值为-1，求m，n的值．

2

图1图2备用图

1

怀柔一摸28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线AP 于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；

（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明. A

C

P

B

2

C

B

29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在

x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.

则直线DE的表达式是 .

（2）当△ABC是等边三角形时，在（1

①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 . ②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.

③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，

（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是 .

3

朝阳一模28．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE. （1）如图1，点D在BC边上.

①依题意补全图1；

②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；

（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系

（直接写出结论）.

图1 图2

29．定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为

2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”． （1）若P(1，2)，Q(4，2) ．

5

①在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是 ；

2

②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.

4

通州一模28．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF. （2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）.

（填“成立”或“不成立”）

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论

是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

图1 图2 图3

29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”． 719

（1）判断点D(,)，是否线段AB的“邻近点” （填“是”或“否”）；

55

（2）若点H (m，n)在一次函数yx1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．

（3）若一次函数yxb的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围.

5

2016年北京市数学中考压轴题题【二】:2016北京市中考数学专题：选择压轴题型

2016北京市中考数学专题------选择压轴题型www.shanpow.com_2016年北京市数学中考压轴题题。

动点函数图象和立体图形的展开折叠是初中数学和高中数学的重要接轨点之一，是北京中考选择压轴题的热点，近年来立体图形的展开与折叠只在2010年出现，更多的是考查动点函数图象．

1．[2015·北京] 一个寻宝游戏的寻宝通道如图Z2－1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为( )

图Z2－1

A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O 2．[2014·北京] 已知点A为某封闭图形边界上的一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P运动的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图Z2－2所示，则该封闭图形可能是图Z2－3中的( )

图Z2－2

图Z2－3

2016年北京市数学中考压轴题题【三】:2016年中考数学压轴题及解析分类汇编

2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)

例1

直线y

1

x1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后3

得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到，

△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

9a3bc0,a1, 解得c3,b2, abc0.c3.

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，

那么BQ． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：

BQ

33．解得x3．所以Q1(3,10)，Q2(3,8)． BA①当

②当

BQ11111．解得



x．所以Q3(,2)，Q4(,0)．www.shanpow.com_2016年北京市数学中考压轴题题。

BA33333

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；

二是BQ．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH

中，sin1

cos1

①当BQ

3时，BQ

BA

在Rt△BQN中，QNBQsin13，BNBQcos19．

当Q在B上方时，Q1(3,10)；当Q在B下方时，Q2(3,8)． ②当

BQ111



时，BQQ3(,2)，Q4(,0)． BA333

例2

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y

k

(k0)在第一象限x

内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当tan∠A＝

1

时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2

（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．

3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y

k

的图像上，所以x

4mk,

整理，得n＝2m． 

2nk.

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝

1

，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)． 2

已知△BDE的面积为2，所以

11

BDEH(m1)22．解得m＝1．因此D(4，22

1)，E(2，2)，B(4，3)．

因为点D（4，1）在反比例函数y析式为y

k

的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解x

4． x

4k,b31

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得k，

22k.b2

b1．

因此直线AB的函数解析式为y

1

x1．

2

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线y

1

x1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，2

1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当

EAEF

时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． AOFP2FP

②如图4，当

EAFP

时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． AOEF2考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为y直线AB为y

12

，x

1

x7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 2

2016年北京市数学中考压轴题题【四】:2016年中考数学压轴题精选及详解

2016年中考数学压轴题精选解析

Word版

中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形

基本题型：已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或

抛物线的对称轴上），若ABP为等腰三角形，求点P坐标。

分两大类进行讨论： （1）AB为底时（即PAPB）：点P在AB的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB的中点M；

利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出AB的垂直平分线的斜率k；

利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；

将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

（2）AB为腰时，分两类讨论：

①以A为顶角时（即APAB）：点P在以A为圆心以②以B为顶角时（即BPBA）：点P在以B为圆心以式联立即可求出点P坐标。

为半径的圆上。 AB为半径的圆上。

利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析

中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或

抛物线的对称轴上），若ABP为直角三角形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB为斜边时（即PAPB）：点P在以AB为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB的中点M；

利用圆的一般方程列出M的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

（2）AB为直角边时，分两类讨论： ①以A为直角时（即APAB）： ②以B为直角时（即BPBA）：

利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出PA（或PB）的斜率

k；进而求出PA（或PB）的解析式；

将PA（或PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P

坐标。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式：

已知两点Px1,y1,Qx2,y2， 则由勾股定理可得：PQ

x1x22y1y22

。

二、 圆的方程：

点Px,y在⊙M上，⊙M中的圆心M为a,b，半径为R。 则PM

xa2yb2R，得到方程☆：xaybR2。

2

2

∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。 三、

中点公式：

x1x2y1y2

,。

22

四、 已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则线段PQ的中点M为

五、 任意两点的斜率公式：

已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则直线PQ的斜率： kPQ

y1y2

。 x1x2

中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形

基本题型：一、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，

或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB为边时 （2）AB为对角线时

二、已知AB，抛物线yaxbxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对

2

称轴上），若四边形ABPQ为距形，求点P坐标。

在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

三、已知AB，抛物线yaxbxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对

2

称轴上），若四边形ABPQ为菱形，求点P坐标。

在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等

（2）对角线互相垂直

四、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为正方形，求点P坐标。

在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

五、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为梯形，求点P坐标。

分三大类进行讨论：

（1）AB为底时 （2）AB为腰时 （3）AB为对角线时

典型例题：典型例题：

例一（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝

1

． 3

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（

2bx

3C点，且经过点(2，3a)，对称轴是直线x1，顶点是M．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点

P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3） 设直线yx3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经

，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由； 过A

（4） 当E是直线yx3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．

y

A O

1 B

x

3 C

（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

（第26题图）

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

M

思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为

ya(x1)(x4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a115

y(x1)(x4)x2x2．

222

1

（2）设点P的坐标为(x,(x1)(x4))．

2

①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM

1

．所以抛物线的解析式为2

1

(x1)(x4)，AM4x． 2

1

(x1)(x4)

AMAO

2，那么如果2．解得x5不合题意． PMCO4x

1

(x1)(x4)

AMAO11

，那么如果．解得x2． PMCO24x2

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