2013浙江高考数学

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2013浙江高考数学【一】:2013年浙江高考理科数学试题及答案解析 (word版)

浙江卷数学（理）试题答案与解析

选择题部分（共50分）

一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=

A．−3+i

B．−1+3i

C．−3+3i

D．−1+i

【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题

【答案解析】B

2．设集合S={x|x>−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(RS)∪T=

A．(−2，1] B．(−∞，−4] C．(−∞，1] D．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题 【答案解析】C 因为(RS)={x|x≤−2}，T={x|−4≤x≤1}，所以(RS)∪T=(−∞，1]. 3．已知x，y为正实数，则

A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy

B．2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy D．2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy

C．2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy

【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确

π

4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φR)，则“f(x)是奇函数”是“φ=

2

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题

π

【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=

2

+kπ，kZ，所以选项B正确

9

5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则

5

A．a=4 C．a=6 【答案解析】A 6．已知αR，sin α+2cos α=

4A．33C．−

4

10

tan2α= 23B．44D．−

3

B．a=5 D．a=7

【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题

（第5题图）

【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题

【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=



10sin2α+4cos2α+4sin αcos α10

可得=2 sin4

2

12tan α3

得3tan2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−，于是tan2α==.

31−tanα4

1→→→

7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于AB上任一点P，恒有PB∙PC≥P0B

4

→

∙P0C，则

A．ABC=90 B．BAC=90 C．AB=AC D．AC=BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题

→→

【答案解析】D 由题意，设|AB|=4，则|P0B|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由

→→→→→

数量积的几何意义可得，PB∙PC=|PH||PB|=(|PB|

→→→→→→→→→

−(a+1))|PB|，P0B∙P0C=−|P0H||P0B|=−a，于是PB∙PC≥P0B∙P0C

→→→ 0

恒成立，相当于(|PB|−(a+1))|PB|≥−a恒成立，整理得|PB

→

|2−(a+1)|PB|+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC 8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1，2)，则

A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值 C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题

【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。

x22

9．如图，F1，F2是椭圆C1：y=1与双曲线C2的公共焦

4

点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为 A．2 B．3

36C． D．22

【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，

属于中档题

【答案解析】D 由题意，c=3，|AF2|+|AF1

|=4„„①，|AF2|−|AF1|=2a„„②，①+②得|AF

2|=2+a

，

c6

①−②得|AF1|=2−a，又|AF1|2+|AF2|2=| F1F2|2，所以a=2，于是e=a2

10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，

对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有 PQ1= PQ2，则 A．平面α与平面β垂直 C．平面α与平面β平行

B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45 D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60

【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题 【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确

非选择题部分（共100分）

二、填空题：每小题4分，共28分． 11．设二项式x−



的展开式中常数项为A，则A= ．

3x

1

5

【命题意图】考查二项式定理，属于容易题 【答案解析】−10

12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的

体积等于

cm3．

【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题

【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个 三棱锥所得

x+y−2≥0，

13．设z=kx+y，其中实数x，y满足x−2y+4≥0，若z的最大值为12，则实数k= ．

2x−y−4≤0．

【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题

【答案解析】2 作出平面区域即可 14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有（用数字作答）．

【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题

【答案解析】480 第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在

32323

左边第二个位置，有A24A3种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A2A3+ A3A3种，由232323对称性可知共有2( A55+ A4A3+ A2A3+ A3A3)=480种。

15．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(−1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q

为线段AB的中点．若|FQ|=2，则直线l的斜率等于 ．

【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题

y=k(x+1)，

【答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x+1)，联立2消去y得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，

 y=4x．

22k−4x+ x22

由韦达定理，xA+ xB =−xQ==−1，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ= k2kk|FQ|=

22+2=2，解出k=±1．

kk

1

16．在△ABC，C=90，M是BC的中点．若sinBAM=sinBAC= ．

3

【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题

6AC

设BC=2a，AC=b，则AM=a+b，AB=4a+b，sinABM= sinABC=

3AB

bBMAMaa+b=在△ABM中，由正弦定理，即，解得2a2=b2，，1bsinBAMsinABM 4a+b

3 4a+b于是sinBAC=

BC2a6=． AB 4a+b3

π|x|

17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR．若e1，e2的夹角为，则6|b|

等于 ．

【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题

|x||x||x|11

【答案解析】2 ====|b|(xe1+ye2)x2+y2+3xyx2+y2+3xyy+3y+1xxx

1|x|

=，所以的最大值为2 |b|

y3 +1x24三、解答题：本大题共5小题，共72分．

18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等

比数列

（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+„+|an|．

【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础

知识，同时考查运算求解能力。 【答案解析】

（Ⅰ）由题意

5a3 a1=(2a2+2)2，

即

d2−3d−4=0．

故

d=−1或d=4．

所以

an=−n+11，nN*或an=4n+6，nN*

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．因为d<0，由（Ⅰ）得d=−1，an=−n+11．则 当n11时，

121

|a1|+|a2|+|a3|+„+|an|=Sn=−n2+n

22

当n12时，

121

|a1|+|a2|+|a3|+„+|an|=−Sn+2S11=2−+110

22

综上所述，

1221−2n2n， n11，

|a1|+|a2|+|a3|+„+|an|=121

2 2−2+110，n12．

19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球

得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，

记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 55

Eη=，Dη=a∶b∶c．

39

【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，

同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 【答案解析】 （Ⅰ）由题意得

ξ=2，3，4，5，6

故

331

P(ξ=2)==，

6642321

P(ξ=3)==，

663231+225

P(ξ=4)==

18662211

P(ξ=5)==，

669111

P(ξ=6)=，

6636

所以ξ的分布列为

所以

Eη=

a2b3c5

a+b+ca+b+ca+b+c3

（Ⅱ）由题意知η的分布列为

2013浙江高考数学【二】:2013年高考文科数学浙江卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学

文史类(浙江卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013浙江，文1)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝( )．

A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1] 答案：D

解析：集合S与集合T都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出

来.，故S∩T＝{x|－2＜x≤1}，故选D. 2．(2013浙江，文2)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )．

A．5－5i B．7－5i C．5＋5i D．7＋5i 答案：C

解析：(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2，因为i2＝－1，所以(2＋i)(3＋i)＝5＋5i，故选C. 3．(2013浙江，文3)若α∈R，则“α＝0”是sin α＜cos α”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 答案：A

π

解析：当α＝0时，sin α＜cos α成立；若sin α＜cos α，α可取6等值，所以“α＝0”是“sin α

＜cos α”的充分不必要条件．故选A.

4．(2013浙江，文4)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β 答案：C

解析：A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C. 5．(2013浙江，文5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )．

A．108 cm B．100 cm C．92 cm D．84 cm 答案：B

解析：由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－

3333

11××3×42＝100(cm3)．故选

B. 32

6．(2013浙江，文6)函数f(x)＝sin xcos x

cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )． A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 答案：A

解析：由y＝sin xcos x

＋

12ππ

cos 2x＝sin 2x

＋cos 2x＝sin2x，因为ω＝2，所以T＝＝2232

π，又观察f(x)可知振幅为1，故选A.

7．(2013浙江，文7)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )．

A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0 C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0 答案：A

解析：由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即

b

2.所以4a＋b＝0，又f(0)＞2a

f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a＞0，故选A.

8．(2013浙江，文8)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是( )．

答案：B

解析：由导函数图象知，函数f(x)在[－1,1]上为增函数．当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.

x2

9．(2013浙江，文9)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2

4

在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )．

A

B

C．答案：D

解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c

＝又四边形AF1BF2为矩形，∴∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|

＝2|AF2|

＝2C2中，2c

＝2a＝|AF2|－|AF1|

＝

e

3

D

．

22

，故选D. 10．(2013浙江，文10)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：

a,ab,b,ab,

a∧b＝a∨b＝

b,ab,a,ab.

若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )．

A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 答案：C

解析：由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.

非选择题部分(共100分)

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．(2013浙江，文11)已知函数f(x)

若f(a)＝3，则实数a＝__________.

答案：10

解析：由f(a)

3，得a－1＝9，故a＝10.

12．(2013浙江，文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．

答案：

1 5

31. 155

解析：从3男，3女中任选两名，共有15种基本情况，而从3女中任选2名女同学，则有3种基本情况，故所求事件的概率为

13．(2013浙江，文13)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________．

答案：解析：圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距

离d

，可知弦

长

l

14．(2013浙江，文14)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．

答案：

9 5

解析：该程序框图为循环结构．

31

＝； 122315

当k＝2时，S；

2233517

当k＝3时，S；

33447199

当k＝4时，S，循环结束，输出S.

44555

x2,

15．(2013浙江，文15)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x2y40,若z的最大值为12，则实数k＝

2xy40.

当k＝1时，S＝1＋__________.

答案：2

x2,

解析：满足条件x2y40,的区域D如图阴影部分所示，且A(2,3)，B(4,4)，C(2,0)．作直线l0：

2xy40

y＝－kx，当k＞0时，y＝－kx为减函数，在B处z最大，此时k＝2；当k＜0时，y＝－kx为增函数，当－k∈0,时，在B处z取最大值，此时k＝2(舍去)；当－k＞去)，故k＝2.



12

19时，在A处取得最大值，k(舍22

16．(2013浙江，文16)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x－x＋ax＋b≤(x－1)2，则ab＝__________.

答案：－1

解析：令x＝1，得0≤1－1＋a＋b≤0， 整理，得a＋b＝0，①

令x＝－1，得0≤1－(－1)－a＋b≤0， 整理，得a－b＝2，②

4

3

2

解①②组成的方程组，得∴ab＝－1.

a1,

b1.

17．(2013浙江，文17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为的最大值等于__________．

答案：2

解析：因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0，y≠0.

|x|π，则

|b|6

|x|221y

又|b|＝(xe1＋ye2)＝x＋y＋xy

，，不妨设

t，则22|b|xy1x2|x|2|x|2|x|12

t，当时，t＋1取得最小值，此时取得最大值，所以的2

|b

|2|b|2|b|4

2

2

2

2

最大值为2.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(2013浙江，文18)(本题满分14分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B

.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

解：(1)由2asin B

及正弦定理因为A是锐角，所以A

ab

，得sin A

＝. 

2sinAsinB

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝36.

π

. 3

28. 3

1

由三角形面积公式S＝bcsin A，得△ABC

2

又b＋c＝8，所以bc

19．(2013浙江，文19)(本题满分14分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等

比数列．

(1)求d，an；

2013浙江高考数学【三】:2013年浙江省高考理科数学试卷及答案(word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

一．选择题

1．已知i是虚数单位，则(1i)(2i)

A．3i B. 13i C. 33i D.1i 2．设集合S

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