2015高考湖北卷理科数学第6题解析

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【一】:2015高考真题湖北卷数学答案解析

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理工类）

本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．i为虚数单位，i607的共轭复数为 ．．．．A．i

B．i

C．1

D．1

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石 B．169石 C．338石

D．1365石

3．已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A．212

B．211

C．210

D．29

4．设X

N(1,12)，Y2

N(2,2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正

确的是

A．P(Y2)P(Y1) B．P(X2)P(X1)

C．对任意正数t，P(Xt)P(Yt) D．对任意正数t，P(Xt)P(Yt)

5．设a1,a2,

,anR，n3. 若p：a1,a2,

222

an1)(a2a3

第4题图

,an成等比数列；

2

q：(a12a22

an)(a1a2a2a3an1an)2，则

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

1,x0,



6．已知符号函数sgnx0,x0, f(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则

1,x0.

A．sgn[g(x)]sgnx C．sgn[g(x)]sgn[f(x)]

B．sgn[g(x)]sgnx D．sgn[g(x)]sgn[f(x)]

11”的概率，p2为事件“|xy|”22

7．在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“xy

的概率，p3为事件“xyA．p1p2p3 C．p3p1p2

1

”的概率，则 2

B．p2p3p1 D．p3p2p1

8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位 长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A．对任意的a,b，e1e2 C．对任意的a,b，e1e2

B．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2 D．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2

9．已知集合A{(x,y)x2y21,x,yZ}，B{(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ}，定义集合 AB{(x1x2,y1y2)(x1,y1)A,(x2,y2)B}，则AB中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30

10．设xR，[x]表示不超过x的最大整数. 若存在实数t，使得[t]1，[t2]2，„，[tn]n

同时成立，则正整数n的最大值是 ．．．．

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．

题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． ．．．．．．

（一）必考题（11—14题）

11．已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB．

xπ

12．函数f(x)4cos2cos(x)2sinx|ln(x1)|的零点个数为．

22

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西

偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD

第13题图

第14题图

14．如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方）， 且AB2．

（Ⅰ）圆C的标准方程为 ； ．．

（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O:x2y21相交于M,N两点，下列三个结论：

①NANB

MAMB

； ②

NBNA



MAMB

2；

③

NBNA



MAMB



其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的

题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线， 且BC3PB，则

AB

 AC

P

C

A

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

第15题图

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极1xt,t坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C

1yt

t

相交于AB两点，则|AB| .

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）

π

某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0,||)在某一个周期内的图象

2

时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解 ．．．．．．．．．．． 析式；

（Ⅱ）将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图

象. 若yg(x)图象的一个对称中心为(

5π

,0)，求的最小值. 12www.shanpow.com_2015高考湖北卷理科数学第6题解析。

18．（本小题满分12分）

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1a1，b22，qd，S10100．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）当d1时，记cn19．（本小题满分12分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD， 且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于 点F，连接DE,DF,BD,BE.

（Ⅰ）证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为DC

求的值．

BC

π， 3

an

，求数列{cn}的前n项和Tn． bn

第19题图www.shanpow.com_2015高考湖北卷理科数学第6题解析。

20．（本小题满分12分）

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求Z的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000

元的概率．

21．（本小题满分14分）

一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN

通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3．当栓

【二】:2015年湖北高考理科数学解析版(好)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） ．．．．www.shanpow.com_2015高考湖北卷理科数学第6题解析。

A．i B．i C．1 D．1 【答案】

A

【考点定位】共轭复数. 【

名

师

点

睛

】

复

数

中

，

i

是虚数单

位,i21；i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nZ).

2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】

B

【考点定位】用样本估计总体.

【名师点睛】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.

3.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）

A.212 B．211 C．210 D．29 【答案】

D

【考点定位】二项式系数，二项式系数和.

【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：

012nCnCnCnCn2n，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等024135CnCnCnCnCnCn2n1.

4.设X

N(1,12)，Y2

N(2,2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正

确的是（ ）A．P(Y2)P(Y1) B．P(X2)P(X1)

C．对任意正数t，P(Xt)P(Yt) D．对任意正数t，P(Xt)P(Y

t)

【答案】

C

【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x对称． ③曲线在x处达到峰值

1

.

2

④曲线与x轴之间的面积为1.

⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示

错误！未找到引用源。

⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示． 5．设a1,a2,

,anR，n3. 若p：a1,a2,

222an1)(a2a3

,an成等比数列；

2

q：(a12a22

an)(a1a2a2a3an1an)2，则（ ）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】A

【考点定位】等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件.

【名师点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

1,x0,



6.已知符号函数sgnx0,x0, f(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则

1,x0.（ ）A．sgn[g(x)]sgnx B．sgn[g(x)]sgnx C．sgn[g(x)]sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]sgn[f(x)] 【答案】

B

【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案. 7．在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“xy的概率，p3为事件“xy

1

”的概率，则 （ ） 2

11”的概率，p2为事件“|xy|”22

A．p1p2p3 B．p2p3p1 C．p3p1p2 D．p3p2p1 【答案】B

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