如何学好几何证明题

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【一】:初中生如何做好几何证明题(含答案)

14、如何做几何证明题

【知识精读】

1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，

求证：DE＝DF

分析：由ABC得CDAD，DCF45 证明：连结CD

ACBCAB

ACB90，ADDB

CDBDAD，DCBBAAECF，ADCB，ADCD

ADECDFDEDF

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)

BD

ABCD，AECFBEDF

在BCE和DAF中，

BEDF

BDBCDA

BCEDAF(SAS)

EFwww.shanpow.com_如何学好几何证明题。

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：

（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个

HN。同理， 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M ∵BH平分∠ABC ∠ABH∠NBH 又BH⊥AH

∠AHB∠NHB90 BH＝BH

ABHNBH(ASA)BABN，AHHN

同理，CA＝CM，AK＝KM KH是AMN的中位线 KH//MN 即KH//BC

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示，

求证：FD⊥ED

证明一：连结AD

ABAC，BDDC

∠1∠290，∠ ∠BAC90，BDDC

BDAD

∠B∠DAB∠DAE

在ADE和BDF中，

AEBF，∠B∠DAE，ADBDADEBDF

31

3290FDED

说明：

证明二：如图5

BDDC

BDMCDE，DMDEBDMCDECEBM，CCBM

BM//AC

A90ABM90AABAC，BFAEAFCEBMAEFBFM

FEFMDMDEFDED

说明：证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

B60，知

，得：

证明：在AC上截取AF＝AE

【二】:初中生几何证明题书写问题分析与数学建议

初中生几何证明题书写问题分析与教学建议

付建红 陕西汉中市南郑县76号学校

摘要∶新课标下初中生几何证明题书写问题很多，为了让学生尽量避免这些问题，学好证明书写，我结合平时工作总结一些教学经验，与同仁共同学习，希望能帮助大家教好学生如何写证明题。

关键词∶几何证明书写、问题、原因、教学建议

我从事北师大版初中数学教学工作已有八年了，通过这八年的教学工作我发现：新课标下，在初中数学几何证明题书写上，学生之间的差距太大了，许多学生在此有极大的问题。我对平时教学中发现的学生问题整理了一下，这里列举了其中的一些问题。

问题一∶有不少学生到初三临上中考考场了，还不知道证明题书写过程须用几

例如：

推理。由已知条件出发，依据某些公理、定理、定义推得需要的条件，凑齐最终结论所需定理的全部题设条件后，只需依此定理推得最终结论，完成此题的证明。

问题三∶

定理、定义； 例如∶

问题四∶有不少学生在证明过程中，常常想当然的冒出很多未证新条件，使这些条件的出现没有任何依据，从而失去了推理证明题最显著的特征：“推理过程必须有根有据。”

问题五∶很多学生在证明中，写的没有条理；经常有些条件不知该写在何处。

没

例如∶

问题七∶有不少学生在证明中出现，两三步并作一步的跳步问题，而没有一层一层的推理。

例如∶ 再如∶

问题八∶∴XXX” 这样的情况，或经常在证明中通篇没有 “ ∵ ， ∴ ”出现，让人分不清哪句是条件，哪句是结论。

问题九∶有些学生不能恰当的表达某些特定模式的证明书写。

例如∶

∵ EF=EF ∵ BE=EC

∴ BE+EF=EC+EF（错误写法） ∴ BE+EF=EC+EF (正确写法)

∴ BF=CF ∴ BF=CF

问题十∶有些学生推理到最后，忘了最终目的。比如∶有些人证两角相等时，想通过“全等三角形对应角相等”这个定理推得，而他证完两三角形全等后，却没有再推一步得两角相等。

问题十一∶还有些同学在图中，不先给角标数字，在证明过程中却以∠1、 ∠2 „„大量出现，让别人根本无法明白是具体的哪些量，更无法看明白推理过程。

总之，在书写证明题过程中，学生各种各样的错误书写和看不懂的证明过程大量存在。这里我只列举了其中一些比较突出的问题，对于初学者出现这些问题可以理解,可是对于即将要上中考考场的初三学生来说，还出现这样的问题是不能原谅的。如果还是这样的书写水平，只能说明该生在初中几何证明方面，连教学大纲一些最基本、最起码的要求都达不到。当然，在批改中考考卷中，这样的问题不是极个别的现象，而是在不同地区有不同程度的存在；在有些地区这样的问题非常严重。

这些问题的出现，不能简单地说是我们的学生努力不够，没有认真学习造成的，它的形成原因很多：

一、学生个人的原因。如个人基础不扎实，没认真听、认真练，没有对错误分析原因，没有及时纠错等。

二、教材的原因。在北师大版数学教材中，八年级下册最后一章《证明一》才进入公理体系，才学习严格的推理证明。而《证明二》、《证明三》及《圆》在九年级才学习，所以学生有将近三分之二的时间，没有学习严格推理证明。而初三又

接近中考，要面临早结束新课，复习备战中考的状况，使学生在严格推理证明这一初中数学教学难点上，学习的很匆忙、很短暂。也难怪有很多学生在这方面，问题堆积如山、谈证明色变。

三、教师自身的原因。比如有些教师教了大半辈子的书，却不知证明教学的基础就是“要教好学生命题三种语言互译关”，甚至有些教师自己都不清楚命题的三种语言为何，更不知强调证明书写过程主要是使用几何语言；还有些教师就像茶壶煮饺子一样，一见到题自己很清楚怎么做，却道不出该怎样分析、怎样想，只能给学生一个答案，却教不会学生自己如何去想、去分析、去书写过程；有些教师只教某个年级，却没有从初一到初三连续教学的经验，出现对本年级内容很清楚，对另外两个年级却不够清楚，根本做不到了解教材，了解学生，更把握不准在这一领域怎样恰当的教学生；还有一些教师对学生不够负责，想着初三我不带，学生成绩好坏和我没关系，自己所带阶段没有让学生学扎实，没打好基础，而把困难扔给下一位接棒教师等等。

总之，造成北师大版教材初中几何证明题书写问题严重的原因很多，这里略指出其中的一些。不管什么原因造成这样的状况，我们教育工作者都应关心，该怎样合理教学去改变这一状况，让更多的学生掌握好基本的证明书写。

现在结合平时的教学，我浅谈一些教学建议∶

第一、建议每一位数学教师必须重视定理的三种语言教学∶文字语言、图形语言、几何语言。

例如∶①文字语言∶（定理∶）有三个直角的四边形是矩形

③几何语言∶ ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形

注意∶几何语言必须建立在图形语言基础上，建议任何定理在教学时，都必须先画出符合文字语言意思的图形，即将定理的文字语言先转化为图形语言，再结合图形中所标的字母，将定理的文字语言转化为几何语言。定理的几何语言非常重要，而几何语言又离不开图形。我们在证明题书写中，其实用的就是定理的几何语言而非文字语言；实际中不少同学在书写证明题时，常出现类似前面“问题一”的写法，主要原因就是不清楚这一点。

第二、 教师一定要让学生深刻意识到“证明题书写中的每句内容都必须有根有据”。“∵”中内容的依据要么是题中已知条件，要么是推理当中前面已证出的条件，决不能出现前面“问题四”中想当然未推就用的条件。“∴”中的内容主要是由一个或几个“∵”中的条件，作为某定理的全部题设条件，依据该定理推得的定理结论，这样就保证了不管是“∵”中的内容，还是“∴”中的内容都是有根有据的，千万要杜绝哪一句内容没有任何依据就凭空出现。

第三、 我在证明题教学中是这样教学生分析的。拿到证明题，首先看需证明的结论是什么；然后判断要推得这一结论准备依据哪个定理去推；再分析这个定理的题设条件有几个，已知中有没有告诉一些，告诉的话又有几个，还差哪几个条件（如果已知中没有告诉此定理题设条件中的任何一个，那么再看图中能否挖掘出一些隐含条件。如果还没有的话，再想该定理的各个题设条件，如何由此题已知的条件，依据别的定理怎样推出）。等到残缺的条件一一被推出，最后再把隐含条件，或已知条件摆出，只要最终定理的各个题设条件齐全了，就可依该定理推得它的结论，也就是此题求证的结论，从而达到此题证明的最终目的。

【三】:如何学好数学立体几何

　　数学中立体几何是一个重要的难题，你将会怎么样去学习它呢?如何学好数学立体几何?下面是小编网络整理的学好数学立体几何的方法，希望对你有用。

　　学好数学立体几何的方法

　　第一要建立空间观念，提高空间想象力。

　　从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

　　第二要掌握基础知识和基本技能。

　　要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。在解题中，要书写规范，如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉;要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观;对于文字证明题，要写已知和求证，要画图;用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题;要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。

　　第三要不断提高各方面能力。

　　通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题;对于提出的命题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面例子，肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的，要从中体验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化，是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识，并领会其中隐含的思想、方法。所谓系统化，是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来，比较它们的异同，形成对它们的整体认识。牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念，用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系，提高整体观念。

　　要注意积累解决问题的策略。如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题;或转化为体积的问题。要不断提高分析问题、解决问题的水平：一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点 ——一个固有的或确定的数学关系。要不断提高反省认知水平，积极反思自己的学习活动，从经验上升到自动化，从感性上升到理性，加深对理论的认识水平，提高解决问题的能力和创造性。

　　有关 高中数学课外学习方法的推荐

　　一、浏览

　　先看扉页上的书名、作者，然后看内容提要、目录、或编者的话、结语等，以求对全书内容作大致的了解。

　　二、精读

　　至少要读两遍，第一遍是从头到尾逐字逐句地读，对全书内容形成一个完整的印象;第二遍，对书中特别精彩的部分反复阅读、理解，要懂得书中的基本概念，懂得每一章节的内涵，理解书中的名词、术语、重要公式、定理的概念;要搞清知识内容的来龙去脉及前后知识的逻辑联系，使之连贯一气，成为体系;还要对原书内容加以深化和再创造，使死的知识变为活的动力，当书本的主人，不当书本的奴隶，最好还能读出书中没有的东西，从明见暗，从是见非，从含蓄中见真情，从理解思索中找规律、找发现。

　　三、摘抄

　　注意将书中精彩的部分、有用的知识，摘抄在自己的读书笔记本上，这样做，一是积累知识、资料，对今后的学习以至研究大有益处;二可加深记忆，使读过的书不易记忆;三为使用方便，以后只要翻看读书笔记，就能清晰地回想起书中的主要精神实质。

　　四、交流

　　如果几个同学都读同一本书，建议读完后集中起来，畅所欲言，交流心得体会、意见、收获、思想认识，通过取长补短，互相促进。交流认识，就等于又把书的内容重新温习了一遍，这对进一步加深对书中重点内容的记忆、理解将大有裨益。

【四】:小学数学期末复习技巧

　　随着期末考试的来临，要怎样做好复习呢?下面是小编收集整理的小学数学期末复习技巧以供大家学习。
 

　　1、回归课本

　　考前要回归课本，掌握了教材就把握了考试的根本。在老师的指导下把考查的内容分类整理，理清脉络，使考查的知识在心中形成网络系统，并在此基础上明确每一个考点的内涵与外延。在建立知识系统的同时，同学们还要根据考纲要求，掌握试卷结构，明确考查内容、考查的重难点及题型特点、分值分配，使知识结构与试卷结构组合成一个结构体系，并据此进一步完善自己的复习结构，使复习效果事半功倍。

　　2、查漏补缺

　　数学的学习一定要加强对以往错题的研究，找错误的原因，对易错知识点进行列举、易误用的方法进行归纳。找准了错误的原因，就能对症下药，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错。同学们还可两人一组互提互问，在争论和研讨中矫正，效果更好。

　　3、时间分配

　　好多同学都觉得几天不做数学题后再考试，审题就会迟疑缓慢，入手不顺，运算不畅且易出错。所以每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，防止思想退化和惰化，保持思维的灵活和流畅。特别是停课复习期间，更要掌握好看和做的时间分配。

　　4、规范作答

　　一些同学考试时题题被扣分，大多是答题不规范，抓不住得分要点。如立体几何证明的次要条件要交待，分类讨论问题最后有综上可得，应用题最后要回答题目的设问，函数应用题要有定义域等。

　　5、归纳考试窍门

熟练掌握数学方法，以不

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