以公式推导出的单位

【www.shanpow.com--机关单位对联】

【一】:排列组合公式推导

1公吨=1t=1000kg

密度单位g/cm3

Proe密度单位 公吨/mm3

1公吨/mm3=1000kg/(cm3×10-3)=109g/cm3

1g/cm3=10-9公吨/mm3

排列和组合基本公式的推导，定义

在本节中，笔者将介绍「排列」(Permutation)和「组合」(Combination)的基本概念和两个基本公式。请注意 「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度解释为日常生活中的不同事例，因此笔者亦会引导读者从不同 角度理解「排列」和「组合」的意义。

先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」

(Distinguishable，亦作「相 异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些 物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全 部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程 序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字 。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定 了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时， 由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。 如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的 ，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×... 2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n阶乘」(n-factorial)。

例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。

答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。

当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来 排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成 抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再 放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」 问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程 序

时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在 可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已 选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程 序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原 理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。

我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结 合律。举一个简单的例子，由於

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由於5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × (3 × 2 × 1)，我们又可得

5! = 5 × 4 × 3!。抽象地看，我们 可以把n!改写为n×(n-1)!，也可以改写为n×(n-1)×(n-2)!照此类推，我们可以把n!改写为

n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)×(n-r)!。由此得

n! / (n-r)! = n ×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。在「点算组合学」上，一般把上述「部分排列」的 解记为P(n, r)。至此我们求得「排列」问题的一条基本公式：

P(n, r) = n!/(n-r)!

例题2：从1至4这4个数字中抽2个出来排序，共有多少种排法？试列出所有排法。

答2：共有P(4, 2) = 4! / 2! = (4 × 3 × 2!) / 2! = 4 × 3 = 12种排法。这 12种排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-4；4-1；4-2；4-3。

请注意只要我们定义0! = 1 (注1)，那麼上述公式便也适用於「全排列」的情况。「全排列」其实就是r = n的 情况，因此如果把r = n代入以上公式，便得P(n, n) = n!/(n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!，正 与前面讨论的结果吻合。

接下来笔者介绍「组合」问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个 球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字记下，但无须理会球被抽出的先后次序。由此可见，「 组合」问题与「排列」问题的主要区别是，前者只关心被抽出来的包含哪些数字，而不管这些数字的顺序；而 后者则既关心被抽出来的包含哪些数字，也关心这些数字的顺序。

惟请注意，「排列」和「组合」虽然是两种很不相同的问题，但两者却并非绝然对立，而是有著非常密切的联 系。日常生活中很多点算问题往往同时包含著「排列」和「组合」的因素，如能了解其中奥妙，很多点算问题 便容易解决。事实上，我们正可利用「排列」和「组合」的这种微妙关系找出「组合」问题的公式。我们把从n 个球中抽r个出来的组合数记为C(n, r)。以下我们利用「排列」和「组合」之间的关系以及「排列」的公式来 推导出C(n, r)的公式。

前面提过，「部分排列」问题可以理解成从n个标了编号的球中抽r个出来，并把球上的数字按被抽出来的顺序 记下。其实我们可以把上述过程分解为两个程序，第一个程序就是从n个球中抽r个出来，先不理会它们被抽出 来的顺序，此即前面所定义的「组合」问题。第二个程序则是把这r个被抽出来的球全部排次序，并求有多少种 排法，此即前面介绍过的「全排列」问题。换句话说，我们可以把「部分排列」问题分解为一个「组合」问题 和一个「全排列」问题(由此可见「排列」和「组合」并非绝然对立)。由於上述两个程序是「各自独立」的， 根据「乘法原理」，「部分排列」问题的解应等於「组合」问题的解乘以「全排列」问题的解，即P(n, r) = C(n, r) × r!，由此得

C(n, r) = P(n, r) / r!。代入前面P(n, r)的公式，应得

C(n, r) = n!/((n-r)!×r!)

正如前面的「排列」公式适用於「全排列」的情况，上述「组合」公式也适用於「全组合」的情况，即求 C(n, n)的问题。根据上述公式，

C(n, n) = n!/((n-n)! × r!) = n! / (0! × r!) = 1。这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。

例题3：从1至4这4个数字中抽2个出来(不考虑次序)，共有多少种组合？试列出所有组合。

答3：共有

C(4, 2) = 4! / (2! × 2!) = (4 × 3 × 2!) / (2! × 2!) = (4 × 3) / 2 = 6种组合。这6种组合是1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4。请注意如果我们把上述6种组合 的每一种排序，由於每一组合均包含两个数字，所以每一组合各有两种排序方式(例如从1,2可得到1-2和2-1两 种排序方式)，这样从4个数字中抽2个出来排序的排法便有6 × 2 = 12种，这正与例题2的解答完全一致 。

请注意在上述C(n, r)的公式中，如果我们把r换成n-r，我们将得到 C(n,n-r) = n!/(n!×(n-r)!)

其结果与C(n, r)相同，由此我们得到C(n, r) = C(n, n-r)。这一点是容易理解的，可以用一个简单 的例子来说明个中原理。假设我们要求从5个人(假设为

A、B、C、D、E)中选出4个人的组合数，此即C(5, 4)。 这个问题其实可以从另一个角度去理解。由於只要我们知道哪一个是「落选者」，便自然知道哪些人是「入选 者」，因此从5个人中选出4个人(入选者)的组合数其实就等同於从5个人中选出1个人(落选者)的组合数，

即 C(5, 4) = C(5, 5-4) = C(5, 1) = 5。把上述结果推广到一般情况，便得到上述的等式。

前面提过，「排列」和「组合」并非绝然对立，有时同一个问题可以从不同角度理解为「排列」或「组合」的 问题，而转换角度往往可以令本来难解的问题变

得容易。以下笔者将举出两个例题，说明如何利用这种转换角 度的方法解答问题。

例题4：用1和2这两个数字可以构造多少个包含3个1的八位整数？

答4：本题初看似应理解为一个「排列」问题，可不是吗？11122222跟22222111是两个不同的八位整 数，由此可见，本题必须考虑八位整数中1和2的次序，因此似乎应运用「排列公式」。可是想深一层，本题其 实已规定了所求的八位整数必须包括3个1和5个2，因此我们已无须考虑这些八位整数应包含哪些数字，而只须 考虑这些数字的位置。而且由於这些八位整数只包含两种数字，我们只需确定其中一种数字(例如1)的位置便确 定了整个八位整数，例如如果我们确定那3个1位於第1、第3和第5位，我们便确定这个八位整数是12121222。因 此确定本题的八位整数便等同於从8个位置中选出3个位置来安放那3个1，而且由於把代表位置的数字列出来无 所谓谁先谁后(注2)，因此本题其实应理解为一个「组合」问题，所求答案是

C(8, 3) = 8! / (5! × 3!) = (8 × 7 × 6 × 5!) / (5! × 3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2) = 56。

本例题说明了一点，对於一个具体问题，我们不能一概而论地把它归类为「排列」问题还是「组合」问题，因 为这要看我们是在点算甚麼。就本例题而言，由於我们点算的对象是那3个1的「位置」，而这些位置的先后次 序不影响点算结果，所以本题是「组合」问题而非「排列」问题。

例题5：设有5个可区别的木星人和3个可区别的火星人，现在要安排他们坐在一排共8个座位上，问有 多少种不同坐法？

答5：由於这8个外星人是可区别的，不妨把他们命名为A、B、C、D、E、F、G和H。本题其实相当於把 这8个字母排次序，并求有多少种排法，因此本题是一个「全排列」问题，答案是8! = 40320。

有些人可能觉得奇怪，为何本题的答案如此简单？既然本题涉及两类数目各不相同的外星人，似乎应对这两类 人分别处理。现在就让我们从另一个角度解本题，看看答案是否相同。首先，我们可以把排座位的过程分解为 三个程序：第一个程序是先从那8个座位选5个出来给木星人坐，这是一个「组合」问题，应有C(8, 5)种选法。 第二个程序则是安排那5个木星人(假设为A、B、C、D和E)坐这5个已选定的座位，这是一个「全排列」问题，共 有5!种排法。第三个程序则是安排那3个火星人(假设为F、G和H)坐余下的座位，这也是一个「全排列」问题， 共有3!种排法。最后运用「乘法原理」求得本题答案为

C(8, 5) × 5! × 3! = (8! × 5! × 3!) / (3! × 5!) = 8!，所得结果跟前面的完全相同。

比较上述两种解题方法，当然是第一种简洁得多。而这种简洁的解题法之所以能成立，是因为本题所给予的有 两类外星人的信息是多余的。由於本题对两类外星人的坐法完全不加限制，因此不论这两类外星人的比例如何 ，也不论有多少

类外星人，只要外星人的总数是8，答案都是一样的。当然，如果对外星人的坐法有所限制，例 如不容许两个火星人坐在相邻的位置，情况将大为不同。此一情况在以后还将讨论到。

注1：有些人可能难以理解为何0!等於1而不是等於0，因为0乘以任何数都是0。请注意n! = n×(n-1)×...2×1这个定义只适用於当n是正整数的情况，当n = 0时，便不能再运用上式 来定义0!。至於为何要定义0! = 1，这完全是为了使上述的「排列」公式也适用於「全排列」的情况，并且使 0!的定义能与「排列」的公式相协调。这一点就正如定义n0 = 1 (当n为正实数)一样，是为了使n a的定义也适用於当a = 0的情况，并且使n0的定义能与指数的运算法则(例如na-b = na/nb)相协调。

注2：例如，当我们说「那3个1位於第1、第3和第5位」，跟说「那3个1位於第5、第1和第3位」是没有分别的。

【二】:从定义出发给出旋度公式的推导

从定义出发给出旋度公式的推导

一班 唐浩月

2903101013

1 旋度的概念www.shanpow.com_以公式推导出的单位。

由于矢量场在点M出的环流密度与面元S的法线方向en有关，

因此，在矢量场中，一个给定点M处延不同方向，它的环流密度值

一般是不同的。在某一个确定方向上，环流面密度可能取很大的值。

为了描述这个问题，引入了旋度的概念。

矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记为rotF,它的方向沿着使

得环流密度去的最大值的面元法线方向，大小等于该环流密度最大

值，即

2 公式推导 1rotFnlimS0SFdlcmax 

若在场A（M）中的一点M处存在这样的一个向量，其方向为A，

在点M处环量密度最大的方向，其模等于环量密度的最大值，则称

此向量为A（M）在M的旋度，记为rotA。

我们首先推导环量密度的计算公式。建立直角坐标系，设 A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

为区域上的GR3上的C(1)类函数，en(cos,cos,cos)，

由环量密度的定义以及Stokes公式的向量形式可知：

dT11limAdSlim(*A)endS SMSdSSMScS

利用积分中值定理可知： (*A)endS[(*A)en]MS,M(S) S

由于(*A)*en在M处连续，从而

dT11limAdSlim(*A)endS cSMSdSSMSS

或

dTRQPRQP()cos()cos()cos dSyzzxxy

上面两公式就是环量密度的计算公式。

从而可知：

dT*Aencos dS

其中为向量与的夹角，因而当，即取于向量同向时，环量密度最大，

为。通过旋度的定义可知，向量正是场A（M）在点M的旋度，即： rotA*Awww.shanpow.com_以公式推导出的单位。

或

i

rotAxPjyQkz a33R

RQPRQP()i()j()k yzzxxy

RQPRQP()cos()cos()cosyzzxxy

【三】:综合单位线与推理公式法使用说明)

水利水电程序集即PC1500

（广东省综合单位线与推理公式法使用说明）

一、单位时线程序的使用：

先准备以下数据：流域面积F，河长L，河流坡降J，流域所在分区和亚区（如果没有亚区，则不用输入），暴雨参数（Ht、Cvt、αt）及计算频率P。

计算时数据可直接输入，也可以用数据文件输入，对于第一次计算的流域，最好直接输入数据，计算完后把这些数据文件保存起来，以后计算同一流域就可用这个数据文件来输入数据，并可对此数据文件进行修改。

建立或修改数据文件可用EDIT<数据文件>

数据文件中数据顺序为：① 工程名称（两边要加引号）；② 流域面积；③ 河长；④ 坡降；⑤ 分区号码（用数字输入顺序号，如Ⅵ号则输入数字6）；⑥ 亚区（输入方法同分区号码的输入一样，如果没有亚区则不用输入）；⑦ H6、Cv6、α6，H24、Cv24、α24，H72、Cv72、α72（注意：有些小流域按《使用手册》规定还需输入1/6小时和1小时的H、Cv、α值，数据可分几行输入）。

计算机中的m1值是直接查线得到的，有时m1值要在线与线之间读出，这时可在程序运行时对计算机算的m1值作出修改，输入自己查得的值。

计算频率在计算过程中输入，可反复计算不同频率而不用重新输入各参数。

计算结果可直接打印出来，也可用数据文件进行保存，经过修改后再打印。用数据文件保存的结果可用（EDIT<数据文件>）查看和修改。

二、推理公式程序的使用：

使用推理公式程序计算前应先准备下列数据：流域面积F，河长L，河流坡降J，流域所在分区和亚区（如果没有亚区，则不用输入），汇流分区，暴雨参数（Ht、Cvt、αt）及计算频率P。

计算时数据可直接输入，也可以用数据文件输入，对于第一次计算的流域，最好直接输入数据，计算完后把这些数据文件保存起来，以后计算同一流域就可用这个数据文件来输入数据，并可对此数据文件进行修改。

建立或修改数据文件可用EDIT<数据文件>

数据文件中数据顺序为：① 工程名称（两边要加引号）；② 流域面积；③ 河长；④ 坡降；⑤ 汇流分区号码（输入数字：1.山区、

2.高丘、3.低丘区、4.海南，分区号码用数字输入顺序号，如Ⅵ号则输入数字6）；⑥ 亚区（输入方法同分区，如果没有亚区，则不用输入）；⑦ H6、Cv6、α6，H24、Cv24、α24，H72、Cv72、α72（注意：有些小流域按《使用手册》规定还需输入1/6小时和1小时的H、Cv、α值，数据可分几行输入）。

计算机中的m值是直接查线得到的，有时m值要在线与线之间读出，这时可在程序运行时对计算机算的m值作出修改，输入自己查得的值。

计算频率在计算过程中输入，可反复计算不同频率而不用重新输入各参数。

计算结果可直接打印出来，也可用数据文件进行保存，经过修改后再打印。用数据文件保存的结果可用（EDIT<数据文件>）查看和修改。

三、调洪演算说明：www.shanpow.com_以公式推导出的单位。

本调洪程序为水库自由泄流情况下的调洪演算程序。

在作用调洪程序前须先用记事本编写好水库的水位～库容～泄量数据文件，数据文件名自定（在DOS下用EDIT<数据文件>编号），库容曲线数据文件中的数据顺序是：

Z1 V1 q1

Z2 V2 q2

… … …

Zi Vi qi

Zn Vn qn

-1 -1 -1

Zi ，Vi ，qi分别为水位及对应的库容和泄量，数据文件最后以三个-1作为结束标志。

如果在库容曲线数据文件中不是起调水位，起调库容和起调的水位、库容和泄量。

如果在调洪时调出的水位超过了库容曲线中给出的最高水位，则程序会提示你加大库容曲线范围，这时若不加大曲线范围也能调洪，

但结果可能不是很精确。

【四】:长方形面积公式的推导

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