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协方差的计算公式篇(1):期望、方差、协方差及相关系数的基本运算
这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。
期望
定义
设是一个离散概率分布函数，自变量的取值范围为。其期望被定义为：
设是一个连续概率密度函数。其期望为：
性质
1、线性运算规则
期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。因此线性运算的期望等于期望的线性运算：
这个性质可以推广到任意一般情况：
2、函数的期望
设为x的函数，则的期望为：
离散：
连续：
一定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即！。
3、乘积的期望
一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立，则。
期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。
方差
定义
方差是一种特殊的期望，被定义为：
性质
1、展开表示
反复利用期望的线性性质，可以算出方差的另一种表示形式：
2、常数的方差
常数的方差为0，由方差的展开表示很容易推得。
3、线性组合的方差
方差不满足线性性质，两个变量的线性组合方差计算方法如下：
其中为x和y的协方差，下一节讨论。
4、独立变量的方差
如果两个变量相互独立，则：
作为推论，如果x和y相互独立：。
协方差
定义
两个随机变量的协方差被定义为：
因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时，。
性质
1、独立变量的协方差
独立变量的协方差为0，可以由协方差公式推导出。
2、线性组合的协方差
协方差最重要的性质如下：
很多协方差的计算都是反复利用这个性质，而且可以导出一些列重要结论。
作为一种特殊情况：
另外当x=y时，可以导出方差的一般线性组合求解公式：
相关系数
定义
相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为：
性质
1、有界性
相关系数的取值范围为-1到1，其可以看成是无量纲的协方差。
2、统计意义
值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表示两个变量没有相关性。
协方差的计算公式篇(2):Matlab协方差矩阵的计算原理
来源：http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.htmlMatlab协方差矩阵的计算原理 a = -1 1 2 -2 3 1 4 0 3for i=1:size(a,2) for j=1:size(a,2) c(i,j)=sum((a(:,i)-mean(a(:,i))).*(a(:,j)-mean(a(:,j))))/(size(a,1)-1); end end
c =
10.3333 -4.1667 3.0000
-4.1667 2.3333 -1.5000
3.0000 -1.5000 1.0000
c为求得的协方差矩阵，在matlab以矩阵a的每一列为变量，对应的每一行为样本。这样在矩阵a中就有3个列变量分别为a（:,1), a(:,2), a(:,3)。
在协方差矩阵c中，每一个元素c(i,j)为对第i列与第j列的协方差，例如c(1,2) = -4.1667为第一列与第二列的协方差。
拿c(1,2)的求解过程来说
c(1,2)=sum((a(:,1)-mean(a(:,1))).*(a(:,2)-mean(a(:,2))))/(size(a,1)-1);
1. a(:,1)-mean(a(:,1))，第一列的元素减去该列的均值得到
-1.3333
-2.3333
3.6667
2, a(:,2)-mean(a(:,2))，第二列的元素减去该列的均值得到
-0.3333
1.6667
-1.3333
3, 再将第一步与第二部的结果相乘
-1.3333 -0.3333 0.4444
-2.3333 .* 1.6667 = -3.8889
3.6667 -1.3333 -4.8889
4, 再将结果求和/size(a,1)-1 得 -4.1667,该值即为c（1,2）的值。
再细看一下是不是与协方差公式：Cov(X,Y) = E{ [ (X-E(X) ] [ (Y-E(Y) ] } 过程基本一致呢，只是在第4步的时候matlab做了稍微的调整，自由度为n-1，减少了一行的样本值个数。
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协方差的计算公式篇(3):Excel统计函数：COVAR协方差函数实例
Excel统计函数：COVAR协方差函数实例
COVAR函数的作用：
返回协方差，即每对数据点的偏差乘积的平均数，利用协方差可以决定两个数据集之间的关系。例如，可利用它来检验教育程度与收入档次之间的关系。
语法：
COVAR(array1,array2)Array1 第一个所含数据为整数的单元格区域。 Array2 第二个所含数据为整数的单元格区域。
说明：
参数必须是数字，或者是包含数字的名称、数组或引用。
如果数组或引用参数包含文本、逻辑值或空白单元格，则这些值将被忽略；但包含零值的单元格将计算在内。
如果 array1 和 array2 所含数据点的个数不等，则函数 COVAR 返回错误值 #N/A。
如果 array1 和 array2 当中有一个为空，则函数 COVAR 返回错误值#DIV/0!。
协方差计算公式为
其中 x 和 y 是样本平均值 AVERAGE(array1) 和 AVERAGE(array2)，且 n 是样本大小。
示例：
