动点产生的相似问题

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动点产生的相似问题【一】:动点产生的相似问题

动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．

请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨

1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．

2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，

所以AH＝1，OH

．所以

A(．

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，

设y＝ax(x－2)，代入点

A(，可

得a 图

2

所以抛物线的表达式为y2(x2)x． （2

）由y2， xxx1)23333

． ．所以tanBOM得抛物线的顶点M

的坐标为(1,

所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．

（3）由

A(、B(2,0)、

M(1,，

得tanABO

，AB

OM 33

所以∠ABO＝30www.shanpow.com_动点产生的相似问题。

°，OA OM

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．

△ABC与△AOM相似，存在两种情况：

①如图3

，当BAOA2．此时C(4,0)． 

BCBCOMBCOA

BC6．此时C(8,0)．

BAOM②如图4

，当

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．

图5

例2 2012年苏州市中考第29题

121bx(b1)x（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444

于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线y

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

b)． 4

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．

如图3，联结OP．

1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝xbxbx＝2b． 2428

161616解得x．所以点P的坐标为(,)． 555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3

121b1x(b1)x(x1)(xb)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2BAOA时，△BQA∽△QOA． QAOA（3）由y

b所以()2b

1．解得b8Q为

(1,2)． 4

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． QAOA

所以C、Q、B三点共线．因此BOQA，即bQA．解得QA4．此时Q(1,4)．

COOA1

4

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例3 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：y1(x2)(xm) (m＞0)与x轴交于点B、C，与m

y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

11(x2)(xm)，得24(2m)．解得m＝4． mm

111（2）当m＝4时，y(x2)(x4)x2x2．所以C(4, 0)，E(0, 2)． 442

11所以S△BCE＝BCOE626． 22

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

HPEO设对称轴与x轴的交点为P，那么． CPCO

HP233因此．解得HP．所以点H的坐标为(1,)． 3422

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

CEBC由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2CEBF时，△BCE∽△FBC． CBBF（1）将M(2, 2)代入y

1(x2)(xm)1FF'EO2设点F的坐标为(x,(x2)(xm))，由，得． mBF'COx2m

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

动点产生的相似问题【二】:因动点产生的相似三角形问题(类型一)

因动点产生的相似三角形问题（类型一）

原理：相似定理SAS（两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.） 方法：

1观察两三角形是否为特殊三角形，找出两三角形相等的角

2、设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后运用相似对应边成比例来列方程求解。

题型一：

直角三角形相似的问题 例题1

1、如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标

答案：

练习. 如图所示，已知抛物线yx21与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

题型二

存在公共角的两三角形相似问题

例题 如图，在平面指教坐标系内，已知A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O移动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。 （1）求直线AB的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ于△AOB相似？

（3）当t为何值时，△APQ的面积为24/5个平方单位？

答案：

（1） 由题意，得 解得

所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．

（2）由AO＝6， BO＝8得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1)当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以 ＝ 解得 t＝(秒)

设直线AB的解析式为y＝kx＋b

2)当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以

＝ 解得 t＝(秒)

练习：已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ACB90，点A，C的坐标分别为A(3，0)，C(1，0)，tanBAC

34

．

3x

9

44（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(3，0)，C(1，0)，B(1，3)

，y

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，

问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

x

题型三

由平行得出角相等的三角形相似问题

动点产生的相似问题【三】:1.因动点产生的相似三角形问题-教师版

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，

AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1www.shanpow.com_动点产生的相似问题。

思路点拨

1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．

2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OHA(1．

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设y＝ax(x－2)，代入点A(1，可得a

图2 所以抛物线的表达式为y

2x(x2)xx． （2）由y

2 xx1)2． ．所以tanBOM

得抛物线的顶点M的坐标为(1,所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由A(1、B(2,0)、M(1,，

得tanABO

，AB

OM OA



OM

所以∠ABO＝30

°，

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①如图3

，当

BAOA

时，BC2．此时C(4,0)． BCOMBCOA



时，BC6．此时C(8,0)．

BAOM

②如图4

，当

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．

图5

例2如图1，已知抛物线y1x21(b1)xb（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于

444

点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

b)． 4

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝xbxbx＝2b．

2428

161616

解得x．所以点P的坐标为(,)．

555www.shanpow.com_动点产生的相似问题。

（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3 11b1

（3）由yx2(b1)x(x1)(xb)，得A(1, 0)，OA＝1．

4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

BAQA当，即QA2BAOA时，△BQA∽△QOA． QAOA

b

所以()2b

1．解得b8Q为

(1,2．

4

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． QAOA所以C、Q、B三点共线．因此

BOQA

，即bQA．解得QA4．此时Q(1,4)．



COOAb1

4

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置． 如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例3 如图1，已知抛物线的方程C1：y1(x2)(xm) (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，

m

且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

11

(x2)(xm)，得24(2m)．解得m＝4． mm111

（2）当m＝4时，y(x2)(x4)x2x2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

442

11

所以S△BCE＝BCOE626．

22

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

HPEO

设对称轴与x轴的交点为P，那么． 

CPCO

HP233因此．解得HP．所以点H的坐标为(1,)．

3422

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

CEBC

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2CEBF时，△BCE∽△FBC． 

CBBF

（1）将M(2, 2)代入y

1

(x2)(xm)1FF'EO2

设点F的坐标为(x,(x2)(xm))，由，得．

mBF'COx2m

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

COBF'm4

由．所以BF． 



CEBFBF

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