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反码和补码篇(一):源码、补码、反码
为叙述方便，先引进两个名词：机器数和真值。将一个数在机器中的表示形式，即编码称为机器数，将数本身称为真值。常用的机器数有三种：原码、补码和反码。
1．原码
1)通俗定义
将数的符号数码化，即用一个二进制位表示符号：对正数，该位取0，对负数，该位取1。而数值部分保持数的原有形式(有时需要在高位部分添几个0)。这样所得结果为该数的原码表示。
例，x=+1001010，y= -1001010，z= -1110(= -0001110)。当原码为8位时，x、y和z的原码分别是：
[x]原=01001010；
[y]原=11001010；
[Z]原=10001110．
其中最高位为符号位。
2)正规定义
其中，x为真值，n为原码的位数。这个定义实际是将真值的范围给出来了，当n=8时，-127<x<127，因而，其数值部分写成二进制形式，最多为7位。从该定义可看出，x为正数时，其原码还是数本身，第8位(符号位)补0；x为负数时，-x等于去掉负号，但要加上127，即第8位为1(127=10000000(2))。因此，这个定义和上面的通俗定义是一致的。
3)原码表示的特点
原码表示有三个主要特点：一是直观，与真值转换很方便；二是进行乘、除运算方便；三是加、减运算比较麻烦。第一点是显然的。说原码表示进行乘、除运算方便是因为其数值部分保持了数据的原有形式，对数值部分进行乘或除就可得到积或商的数值部分，而积或商的符号位可由两个数原码的符号位进行逻辑运算而得到。说原码表示进行加、减运算比较麻烦，以加法为例，两个数相加需先判别符号位，若其不同，实际要做减法，这时需再判断绝对值的大小，用绝对值大的数减绝对值小的数，最后还要决定结果的符号位。
2．补码
1)补码的引进和定义
据统计，在所有的运算中，加、减运算要占到80％以上，因此，能否方便地进行正、负数加、减运算，直接关系到计算机的运行效率。
如日常生活中的一个例子——指针式钟表。现在时针指向11点钟，要使其指向6点钟，有两种方法，一是正拨7个格，二是反拨5个格。如果把钟表看成一个计算器，正拨看成加运算，反拨看成减运算，那么，在钟表上有：11-5=11+7，即11+(-5)=11+7。之所以这样，是因为11+7=12+6，而在钟表上，12相当于0，超过12时，12就丢失了。这种运算称为按模运算。钟表的模为12。所谓“模”，是指一个系统的量程，或者说一个系统所能表示的最大的数(确切地说，为最大数时加1)。按模运算是指运算结果超过模时，模丢失。当模为整数时，按模运算也可理解成除以模求余数的过程。常用符号“mod”表示按模运算。
在计算机中，一个具体数据类型的位数是确定的。例如，字节型数据为8位，当每一位都为1时，再加1，最高位将产生进位。如果不采取措施，这个进位将被丢失，丢失的量为2^8=256，这就是8位数据的模。从上面的例子已看到，按模运算，可以使正数加负数转化成正数加正数(11-5=11+7)，一个负数可以等价于一个正数(-5等价于+7)。看一下计算机中情况。例如，要将+0001111(15)和-0001100(-12)相加，实际是要做减法，但不这样做，而是先将-0001100与模10000000(256)相加，得11110100(-12+256=244)，再拿原被加数0001111和它(11110100)相加，得00000011(15+244=256+3=3)，最高位的进位，即模丢失。
这样，同样得到了正确结果。由此可见，在计算机中，只要将负数加模就可以转化成正数，使正数加负数转化成正数加正数。
把一个负数加模的结果称为该负数的补码(结果是一个正数，它和该负数是等价的，确切地说，是一对一的，因而可看作是该负数的编码)，定义正数的补码就是它本身，符号位取0，即和原码相同。这就是补码的通俗定义。将这个定义用数学形式表示出来，就可得到补码的正规定义：
其中n为补码的位数。这个定义实际也将真值的范围给出来了，当n=8时，-127≤x<127。和原码相比，补码表示可多表示一个数。当n=8时，多表示的数是-127=-128。
2)补码的求法
对正数，补码同原码。例如，x=+0101001，[x]补=[x]原=00101001。对负数，由定义求补码，需做减法，不方便。经推导可知，负数的补码等于其原码除符号位外按位“求反”(1变0，0变1)，末位再加1。例如，y=-0001100，[y]原=10001100，[Y]补=11110011+1=11110100。
多做几例，可得出一种心算求补的方法——从最低位开始至找到的第一个1均不变，符号位不变，这之间的各位“求反”(该方法仅用于做题)。
由求补的方法可以看出，对于补码，其符号位和原码的符号匣相同，也表示了真值的符号。
3)补码的性质
①[x+y]补=[x]补+[y]补，即两数之和的补码等于各自补码的和。
②[x-y]补=[x]补+[-y]补，即两数之差的补码等于被减数的补码与减数相反数的补码之和。
③[[x]补]补=[x]原，即按求补的方法，对[x]补再求补一次，结果等于[x]原。
4)利用补码进行加、减运算
引进补码的目的是方便带符号数的加、减运算，这里仅看一下加法，举几个例子。请注意：符号位也参与运算，符号位出现的进位为模，应丢弃。下面是三个利用补码求和的例子。这里假定机器数为8位。
符号位为0，真值为正，所以，x+Y，=+0001011(2)(+11)。
符号位有进位，自动丢失。符号位为1，真值为负，对[x+y]补求补得[x+Y]原=10001011，由此，x+Y= -0001011(-11)。
符号位有进位，自动丢失。符号位为O，真值为正，所以，x+Y=+0000111(+7)。
上面是三种类型的数的补码运算：正数+正数、负数+负数、正数+负数。负数+正数和正数+负数是一样的。由此可见，采用补码表示，进行数的加法运算可统一成进行数的补码加法运算。
上面的例子只是用来说明引进补码的好处，其运算过程不是计算机的实际过程。在计算机中不必每次都进行原码与补码之间的转换，可以将运算结果以补码形式存储起来，以便直接参与后面的运算。
3．反码简介
对正数，其反码与原码相同，也与补码相同。对负数，其反码等于原码除符号位外，按位求反(末位不加1)。利用反码也可使带符号数的加、减法转化为单纯的加法，但麻烦一些。一般把求反码作为求补的中间过程，即[x]补=[x]反+1。
上面所介绍的机器数编码主要用于汇编语言编程。在高级语言中，数可带有符号，但编译程序最终还是将其表示成机器数。
slowgrace注：在VB中，负数也是补码表示的。比如在立即窗口做如下测试：
hex(clng(-1))
FFFFFFFF
本文来自CSDN博客，转载请标明出处：http://blog.csdn.net/slowgrace/archive/2009/04/27/4130722.aspx
反码和补码篇(二):原码、反码和补码...
原码、反码和补码
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
1、原码、反码和补码的表示方法
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如： 符号位 数值位
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
注意：a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
（2）反码：
正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
例如： 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意：a. 数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=00000000B
[- 0]反=11111111B
b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码的表示方法
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。
2）补码的表示：
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。
例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2．原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
（1） 已知原码，求补码。
例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。
解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反
1 +1
1 1 0 0 1 1 0 0 补码
故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。
（2） 已知补码，求原码。
分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。
例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。
解：由[X]补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 0 0 1 0 0 0 1 符号位不变，数值位取反
1 +1
1 0 0 1 0 0 1 0 原码
1．3．2 有符号数运算时的溢出问题
请大家来做两个题目：
两正数相加怎么变成了负数？？？
1）（+72）+（+98）=？
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72
+ 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
1 0 1 0 1 0 1 0 B -42
两负数相加怎么会得出正数？？？
2）（-83）+（-80）=？
1 0 1 0 1 1 0 1 B -83
+ 1 0 1 1 0 0 0 0 B -80
0 1 0 1 1 1 0 1 B +93
思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？
答案：这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2n-1≤X≤2n-1-1
当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。
而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。
在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。故需设清除各部分及清除全部的按钮。测试时注意最大、最小正负数。用户使用时注意讲解不会溢出：当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000...，它不是负数，故不会溢出。
在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。
总结：提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某”，而不是只显示数值。
反码和补码篇(三):原码、反码和补码
关于补码，看过一些书籍和网文，基本都是在“求反加一”的方法、步骤上反复强调，而对于补码的本质和定义，讨论的不足。这就对初学者的造成了误导，使得很多人都纠结在－128的补码求取过程中。
关于反码和原码，大家都是在郑重其事的讲解，其实，学过的人都知道，它们的重要性是 0 ！
做而论道把自己对于补码的认识写在下面，但愿对读者有些帮助。
加法器
计算机里面，只有加法器，没有减法器，所有的减法运算，都必须用加法进行。
即：减去某个数字（或者说加上某个负数）的运算，都应该研究如何用加法来完成。
模、补数
在日常生活当中，可以看到很多这样的事情：
把某物体左转 90 度，和右转 270 度，在不考虑圈数的条件下，最终的效果是相同的；
把分针倒拨 20 分钟，和正拨 40 分钟，在不考虑时针的条件下，效果也是相同的；
把数字 87，减去 25，和加上 75，在不考虑百位数的条件下，效果也是相同的；
……。
上述几组数字，有这样的关系：
90 270 = 360
20 40 = 60
25 75 = 100
式中的 360、60 和 100，就是“模”。
式中的 90 和 270、20 和 40，以及 25 和 75，就是一对对“互补”的数字。
知道了“模”，求某个数字的“补数”，就是轻而易举的了：
如果模为 365，数字 120 的补数为：365 - 120 = 245。
用补数代替原数，可把减法转变为加法。出现的进位就是模，此时的进位，就应该忽略不计。
二进制数的模
前面说过的十进制数 25 和 75，它们是 2 位数的运算，模是 100，即 1 的后面加上 2 个 0。
如果有 3 位数参加运算，模就是 1000，即 1 的后面加上 3 个 0。
这里的 1000，是十进制数的一千，可以写成 10^3，即 10 的 3 次方。
推论：有多少位数参加运算，模就是在 1 的后面加上多少个 0。
对于二进制数字，模也是这样推算。
如果是 3 位二进制数参加运算，模就是 1000，即 1 的后面加上 3 个 0；
那么当 8 位二进制数参加运算，模就是 1 0000 0000，即 1 的后面加上 8 个 0。
16 位二进制数参加运算，模可就大了，是 1 的后面加上 16 个 0。
注意：这里提到的 1、0，都是二进制数。
8 位二进制数的模可以按照十进制写成 2^8，即 256。
16 位数二进制数的模，就是 2^16，按照十进制，它就是 65536。
二进制数的补码
求二进制数的补数，目的是往计算机里面存放。
在计算机里面，存放的数字什么的，都称为机器码；那么二进制形式的补数，也就改称为补码了。
一般情况下，都是以 8 位二进制数来讨论补码，少数也有用 16 位数的。
计算时加上正数，是不需要进行求取补数的；只有进行减法（或者加上负数），才需要对减数求补数。
补码就是按照这个要求来定义的：正数不变，负数即用模减去绝对值。
已知一个数 X，其 8 位字长的补码定义为：
/ X 0 <= X <= 127 ；正数和0的补码，就是该数字本身
[X]补 = |
\ 2^8 －|X| －128 <= X < 0 ；负数的补码，就是用 1 0000 0000，减去该数字的绝对值
例如 X = －126，其补码为 1000 0010，计算方法如下：
1 0000 0000
－ 0111 1110
－－－－－－－－－－－
1000 0010
可以看出，按照补码的定义来求补码，概念十分清晰，方法、步骤也是十分简单的。
应用补码进行计算
用补码计算：83－25＝58。
83 －－都变成补码，再用加法运算－－> 0101 0011
－ 25 －> 1 0000 0000 - 0001 1001－－> 1110 0111
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
58 <－ 忽略进位1，结果就是正确的－－[1] 0011 1010
计算结果如果超出了－128～＋127的范围，结果将是错误的，这是没有办法纠正的。
应用补码进行计算，完全符合前面介绍的“用补数可把减法转换成加法”的做法，只要忽略进位（这个进位1，就是求补的时候，加进去的1 0000 0000中的1），结果就是正确的。
这些关于补数、补码的定义、方法、步骤，读者如果看懂了前面的文字，相信大家自己都可以总结出来。
那么为什么总有些网友要提出关于求取补码的问题呢？
在做而论道看来，就是因为很多教材和网文都在这个问题上“画蛇添足”。
关于补码的蛇足
补码出现后，后人又补充了不少“蛇足”：符号位、求反加一、原码、反码......。
下面的表格给出了一些 8 位数的补码。
－－符号位
从这个表格中，可以看出补码的一个特点：正数的最高位都是0，负数的最高位都是1。
这样一来，有人就把最高位理解成了符号位。说什么是规定的用0代表正号，......。并且郑重其事的补充说明：“符号位也参加运算”。真能忽悠！卖拐、卖车的都甘拜下风。
其实，前面说过的 补数 和 补码的定义式 里面，根本就没有什么符号位。这最高位的1、0是自然出现的，并不是由人来规定的。
－－求反加一
负数补码的后面七位，也可以看出一个不完全的规律：它们和绝对值之间存在着“求反加一”的关系。
于是，又有人推出了这个不同于定义式的算法。
－－原码和反码
由于使用“求反加一”来求取补码，顺便又引出了 原码 和 反码 两个垃圾概念。
其实，“求反加一”的计算方法只是适用于计算二进制形式的补数，它并不是通用的。
并且把“求反加一”用于求－128的补码，有个溢出的现象，很多人都在这里被弄瘸了很长时间。
原码和反码也只不过是“人工”进行“求反加一”时的中间过程，在计算机里面根本是不存在的，它们也就没有丝毫用处。
