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直角三角形三边关系一:三角形三边的关系
三角形三边的关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
定义：在一个平面内,不在同一直线上的三条线段首尾相连组成的图形。
性质：由两边中点连结的线段平行且等于第三边的一半。（中位线）
一般
设三角形三边为a,b,c则
a+b>c,a>c-b
b+c>a,b>a-c
a+c>b,c>b-a
如图，
任意△ABC，求证AB+AC>BC。
证明：在BA的延长线上取AD=AC
则∠D=∠ACD（等边对等角）
∵∠BCD>∠ACD
∴∠BCD>∠D
∴BD>BC（大角对大边）
∵BD=AB+AD=AB+AC
∴AB+AC>BC
一般三角形的三边关系
一般三角形
设三角形三边为AC,BC,AB,
点D垂直于AB，为三角形ABC的高
如图，利用勾股定理，得
AC2-AD2=CD2① CB2-BD2=CD2 ②
①=②
AC2-AD2 =CB2-BD2
因为 AD+BD=AB
所以 AC2-(AB-BD)2=CB2-BD2 ③
同样也有AC2-AD2=CB2-（AB-AD)2 ④
③化简得：(AB2+CB2-AC2)÷2AB=BD
④化简得：(AB2-CB2+AC2)÷2AB=AD
三角形三边关系特殊
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1） AD^2=BD·DC，
（2） AB^2=BD·BC ， 射影定理图
（3） AC^2=CD·BC 。 等积式 （4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明） (5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,
(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
等腰直角三角形三边之比：1:1:根号二
三角形有关的线段、三角形三边关系
一、学习内容
1．三角形有关的线段
2．三角形三边关系
重点：三角形高线、中线、角平分线的意义
画法．
三角形三边关系．
难点：三角形三边关系定理的运用．
二、重点难点分析
引入：三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏大的建筑物（香港中银大厦）到微小的分子结构，处处都有三角形的形象．
同学们想一下，你们在日常生活中见到过哪里有三角形？起重机的支架，高压线的支架，火车车厢中放行李横格板的支架，折叠椅，各种车辆的机械结构中都不难发现三角形．
为什么在工程建筑，机械制造中经常采用三角形结构呢？这与三角形的稳定性有关，这就需要我们对三角形的性质进行研究．三角形又是我们认识其他图形的基础，如我们了解三角形内角和是180°，就可以算出多边形各个内角的和．
本章主要学习三角形有关的线段，三角形三边关系，三角形内角和，及多边形内角和的内容．
（一）三角形的定义，表示方法及有关概念：
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
表示方法：△ABC
A，B，C是三角形的顶点．
有关概念：
三角形的边：组成三角形的线段是三角形的边．即AB，BC，CA（或表示为a，b，c．方法是顶点A所对的边用a表示，……）
三角形的顶点：相邻两边的公共端点．即A，B，C．
三角形的内角：（简称三角形的角）相邻两边组成的角．即∠A，∠B，∠C．
边、角互称语句：边所对的角，角所对的边，两边的夹角，两角的夹边．
（二）三角形的高、中线与角平分线．
1．三角形的高线：
定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）
表述：（以下四种方法都可以）
<i>AD是△ABC的高．
<ii>AD是△ABC中BC边上的高．
<iii>AD⊥BC于D．
<iv>∠ADC=90°（或∠ADB=90°，也可以∠ADC=∠ADB=90°）
特点：<i>三角形的三条高线（或它的延长线）交于一点．（如图）
说明：在计算机上用“几何画板”软件画一个任意三角形，再画出它的三条高线可以发现这一规律，当然也可以从理论上加以证明（教材早已删去了）
<ii>三角形高线不一定在三角形内部（见例题）
与垂线的区别：高线是线段，垂线是直线．
画法：同于画垂线的方法．
2．三角形的中线
定义：在三角形中连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．
表述：（四种方法都可以）
<i>AM是△ABC中线
<ii>AM是△ABC中BC边上的中线
<iii>（结合图形只需一个等号）
<iv>点M是BC边中点．
特点：一个三角形有三条中线，三条中线交于一点．（重心）仍可用“几何画板”验证．
与线段垂直平分线的区别：中线一般不垂直于该边，另外中线是线段垂直平分线是直线．
画法：先画出该边中点，然后连结．
3．三角形的角平分线：
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
表述（三种方法都可以）：
<i>AD是△ABC的角平分线
<ii>AD平分∠BAC交BC于D
<iii>（结合图形可只写一个等号，否则要写两个等号）
特点：一个三角形有三条平分线，它们交于一点（内心）也可用几何画板验证．
<iii>∠BAD=∠CAD=1∠（
与角平分线的区别是：线段与射线之分．
画法：同于画已知角的平分线，用量角器或尺规画图．
（三）三角形按边的相等关系分类：
有关定义：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形．
等腰三角形：有两条边相等的三角形．
等边三角形：三边都相等的三角形．
等腰三角形的有关概念：
在等腰三角形中，相等的两边都叫腰．另一边叫做底边．
两腰的夹角叫顶角．
腰和底边的夹角叫底角．
（四）三角形中的三边关系
定理：三角形两边的和大于第三边．
已知：△ABC，三边分别为a，b，c
求证：b+c>a，c+a>b，a+b>c．
证明：b+c>a（两点之间，线段最短）
同理：c+a>b
a+b>c
补充：推理：三角形两边的差小于第三边．
仍按上图及定理推证如下：
不妨设a≥b≥c．
∵b+c>a ∴b>a-c，c>a-b．（不等式性质）
∵a+c>b．∴a>b-c．
说明：在平面几何中，研究的量都是正值，推论中所指两边差都是正值，因此要注意不
能有负值出现．
（五）三边关系定理与推论之间的关系
已知：线段a、b、c可构成三角形，不妨设a≥b≥c．
说明：<i>定理内容应表述为三个不等式，即三角形任意两边和大于第三边，推论也是如此．
<ii>观察定理的三个不等式不是通过移项而互推的，都是根据线段公理而证出．
<iii>整体推出是指由定理的三个不等式整体推出推论的三个不等式，实际上由其中的两个再加上a≥b≥c的条件即可互推．
（六）应用定理及推论的不同情况．
1．当已知线段a，b，c大小时，如a>b>c只须考虑定理中的一个不等式即可判断能否组成三角形．
方法①：找出最大边a，只须考虑b+c>a是否成立．
方法②：找出非最大边b（或c）只须考虑b>a-c是否成立．
道理：上述的一个不等式可以概括定理和推论的6个不等式（包括本身）
证明：若b+c>a则∵a最大，∴a+b>c，a+c>b
又可推出b>a-c，c>a-b（移项）
a>b-c（由a最大）
2．当已知两条线段的值或大小关系时，须列两个不等式来判定能否构成三角形．
方法：已知线段a，b的大小关系为a>b，第三条线段为c，若满足a-b<c<a+b．则a，b，c可构成三角形．
道理：上面的不等式组可概括定理和推论的6个不等式．
即：若c为最大时，不等式c<a+b可以概括．若c为非最大时，不等式可以概括．
3．当三条线段具体长度或大小关系都不知道，则由定理需列出三个不等式来判定能否组成三角形；由推论需列出两个绝对值不等式来判定能否组成三角形．
道理：①因为三条线段的大小关系并不知道定理中的三个不等式都应列出，否则有可能遗漏“最大边小于另外两边和”这时，三条线段不能构成三角形．
②运用推论时，因三条线段皆未知大小，所以推论应写成
在这三个不等式中任选两个若能成立，就可判定能否构成三角形．
如：选a>|b-c|，b>|a-c|
当b≥c时，可a>b-c c>b-a ①
当a≥c时，可b>a-cc>a-b ②
①，②中必有一个成立，这样推论的三个不等式都可以成立了．
（由b≥c，a≥c假设可知c不是最大边，根据1可得出能构成三角形的结论）
（七）三角形的稳定性
将三根木条用钉子钉成一个三角形木架然后扭动它，发现它的形状不会改变．而将四根木条用钉子钉成一个四边形木架再扭动它发现它的形状轻易就改变了．这说明三角形的三边长固定后它的形状不会改变（指内角的改变而引起的形状的改变）这个性质叫做三角形的稳定性．
三形的稳定性有广泛的应用：如我们前面举出的起重机的支架、高压线的支架、钢架桥自行车的主樑等都有三角形结构．平时生活中的三角形支架也到处可见．
三、典型例题讲解
例题1：分别画出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条高，并比较异同．
解：AD⊥BC于D
BE⊥AC于E
CF⊥AB于F
AC⊥BC于C
BC⊥AC于C
CD⊥AB于D
AD⊥BC于D
BE⊥AC于E
CF⊥AB于F
结论：锐角三角形三条高线都落在三角形内部，直角三角形有两条高恰是它的两边，钝角三角形有两条高在三角形外部．
注意：辅助线要画虚线，画图要表示结果．
问题：在上面第一图中△ABH的三条高线各是哪条？（HF，AE，BD）△BHC，△AHC呢？
例题2：证明三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
已知：△ABC中，AM是BC边上的中线．
求证：
证明：作AD⊥BC于D．
∵AM是△ABC中线（已知）
∴BM=CM（三角形中线定义）
∵
∴．
例题3：一个等腰三角形的周长为18cm．
①已知腰长是底边长的2倍．求各边长．
②已知其中一边长为4cm，求其它两边长．
解：①设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
由题意：x+2x+2x=18
x=3．6
∴2x=7．2
答：三边长分别为3．6cm、7．2cm、7．2cm．
②情况1．设腰长为xcm，则底边长为4cm．
由已知：2x+4=18
x=7
情况2．设底边长为xcm，则腰长为4cm
由已知：4×2+x=18
x=10
∵4+4<10
即两条线段的和小于第三条线段
所以以4，4，10为边不能构成三角形
综上，另外两边的长都应是7cm
答：另两边长都为7cm．
例题4：
1．△ABC中a=3x，b=4x，c=14，则x的取值范围（ ）
A．2<x<14 B．x>2 C．x<14 D．7<x<14
解：由上面第二种情况知需列不等式组
∴2<x<14
∴选（A）
2．三角形三边长为m-1，m，m+1（m>1）则m的取值范围是（ ）
A．m>0 B．m>-2 C．m>2 D．m<2
解：可认为是第一种情况（知道最大边）
m+1<m-1+m
m>2
∴选（C）
3．已知，一个三角形的三边分别为a，b，c（a<b）则它的周长l满足（ ）
A．3a<l<3b B．2b<l<2（a+b）
C．2a+b<l<a+2b D．a+2b<l<2a+b
解：由已知a<b
∴b-a<c<a+b
两边都加（a+B）：a+b+b-a<a+b+c<a+b+a+b
2b<l<2（a+b）
∴选（B）
说明：我们可以用举反例的方法否定A，C，D三个选项：
否定A：
当c最小时①不一定成立，如2，4，5，
当c最大时②不一定成立，如3，4，5，
否定C：当c最小时，c<a<b则2a+b<l不成立
否定D：当c最大时，a<b<c则l<2a+b不成立
例题5：（1）用两种方法解：△ABC中三边长分别是3，1-2R，8，则R的取值范围是（ ）
A．-2>R>-5 B．R>-5 C．R<-2 D．非上面答案
解法1．8-3<l-2R<8+3-5<R<-2
解法2． （捕捉最大边）
-5<R<-2
∴选（A）
（2）已知：三角形一边是另一边的两倍
求证：它的最小边长在它的周长的与之间．
证明：设三角形的三边为a，b，c．由已知，不妨设a=2c．
则最小边只能是c 即a>b>c
∴
四、随堂监测A组
（一）填空
1．图中有几个三角形？分别把它们用符号写出来．
2．已知：如图在△ABC中，AE是中线．AD是角平分线，AF是高
完成下面填空：
①BE=________=________．
②∠BAD=________=________．
③∠AFB=________=90°．
3．已知：如图．∠1=∠2，AF=FC，∠D=∠E=90°判断
①AD是△ABC的BC边上的高（ ）
②BF是△AEC的中线（ ）
③AB是△ADC的角平分线（ ）
④CE是△ABC中AC边上的高（ ）
⑤CE既是△ABC的高也是△AEC的高（ ）
4．在图上分别画出△ABC中AC边上的高
5．在△ABC中过顶点A画出该△ABC的中线、角平分线和高
（二）选择：
1．下列各组数分别为三条线段的长，以三条线段为边能构成三角形的是（ ）
A．6，10，3 B．6，9，3 C．6，2，3 D．6，8，3
2．如果线段a，b，c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
A．2∶3∶5 B．3∶4∶8 C．1∶2∶4 D．4∶5∶6
3．三角形的两边长分别为5和7，那么它的第三边a的长的取值范围是（ ）
A．2<a<12 B．2<a≤12 C．2≤a<12 D．2≤a≤12
4．已知一个三角形的周长是20cm，其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形第三边长是（ ）
A．8cm B．4cm C．10cm D．5cm
五、随堂监测B组
（一）填空题：
1．△ABC的三边a=4．8，b=2a，b比c大1．9，则△ABC的周长为___________．
2．等腰三角形的两边长分别为25cm和12cm，那么它的第三边长为___________．
3．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，那么它的周长为____________．
4．若三角形的两边长分别为9cm和5cm，第三边长是偶数，则第三边长的可能取值为_____________．
5．D为△ABC的边BC上一点，则CA+AB+BC__________2AD．（填写“>”“<”或“=”）
6．△ABC的三边a，b，c满足则△ABC是__________三角形．
（二）解答题：
1．等腰三角形腰长是5，求底边长a的取值范围．
2．如图，在△ABC中，D为△ABC内任一点．求证：AB+AC>BD+CD
3．已知：D在△ABC的AB边上，并且BD=CD
求证：AB>AC
4．在等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线
求证：3AB>2BD
六、参考答案
A组
（一）填空
1．共有六个三角形，它们是△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE．
2．①CE、BC；②∠CAD，∠BAC；③∠AFC
3．①√ ②× ③√ ④× ⑤√
4．
5．
（二）选择
1．D 2．D 3．A 4．B
B组
（一）填空题
1．22．1
2．25cm
3．51cm或63cm
4．6cm，8cm，10cm，12cm
5．>
6．等边三角形（提示：移项后配方）
（二）解答题：
1．解：∵5+5>a>5-5 ∴10>a>0 答：底边长a的取值范围是10>a>0
2．证明：延长BD交AC于E．
在△ABE中AB+AE>BE（三角形两边和大于第三边）
同理：DE+EC>CD
两式相加：AB+AE+DE+EC>BE+CD
AB+AC+DE>BD+CD+DE
AB+AC>BD+CD．
3．证明：∵AD+CD>AC（三角形两边和大于第三边）．
又∵BD=CD（已知）
∴AD+DB>AC
即AB>AC
4．证明：∵AB+AD>BD（三角形两边和大于第三边）
∴2（AB+AD）>2BD
∴2AB+2AD>2BD
∵
∴3AB>2BD
http://ziyuan.wmw.cn/BD/beida/FileLibrary/directions/c1h3sxb6500a09/c1h3sxb6500a09.htm
来源：网络
直角三角形三边关系二:八年级上三角形专题知识点汇总，掌握了月考满分！
每天一起涨知识！开学已经十多天了，初二的同学，三角形的知识掌握得怎么样呢，今天豆姐整理的是三角形部分的知识点，跟豆姐一起回顾一下吧！
1.三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
2.三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
注意：
(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
(2)三角形是一个封闭的图形；
(3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。
3.三角形的分类(1)按边分类：
(2)按角分类4.三角形的主要线段的定义(1)三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。
表示法：①AD是△ABC的BC上的中线.
②BD=DC=BC.
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点(注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃)
③中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
(2)三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
表示法：①AD是△ABC的∠BAC的平分线.
②∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）
③用量角器画三角形的角平分线。
(3)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：①AD是△ABC的BC上的高线
②AD⊥BC于D
③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）
③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）
5.三角形的主要线段的表示法三角形的角平分线的表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
① AD是DABC的角平分线；
② AD平分ÐBAC，交BC于D；
③如果AD是DABC的角平分线，那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.(图1)
(2)三角形的中线表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
①AE是DABC的中线；
②AE是DABC中BC边上的中线；
③如果AE是DABC的中线，那么BE=EC=BC.
(3)三角线的高的表示法：
如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：
①AM是DABC的高；
②AM是DABC中BC边上的高；
③如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；
④如果AM是DABC中BC边上的高，那么ÐAMB=ÐAMC=90°.
在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：
(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.
(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3 图4
如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5 图6 图7
6.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
7.三角形的角与角之间的关系(1)三角形三个内角的和等于180°;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
8.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：
(1)作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2 ∠3 ∠4=180度，
即∠A ∠B ∠ACB=180度．
(2)作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1 ∠2 ∠3=180度
即∠BAC ∠B ∠C=180度．
注意：
(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角．
(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
9.三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
10.三角形外角的性质(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：(1)它不相邻的内角不容忽视；
(1)作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1 ∠2=∠A ∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11.三角形的稳定性三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。
注意：(1)三角形具有稳定性；
(2)四边形没有稳定性.
关于三角形会经常遇到的题型：
适当添加辅助线，寻找基本图形。
(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=∠DAC.图8
(2)基本图形二，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线 平行线→等腰三角形.图9
(3)基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线 垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12。12.多边形在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。
(1)多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
(2)正多边形
各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形
(3)多边形的内角和为（n-2）*180度
多边形的外角和为 360度
注：当求角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角
13.密铺所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。
可单独密铺的图形
①所有三角形与四边形均可以单独密铺。
②正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。
③对边平行的六边形可以单独密铺。
平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。
(利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360)
曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。
直角三角形三边关系三:中考复习（第九章 三角形）
第九章 三角形
考点一、三角形 （3~8分） 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“ ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ ABC”，读作“三角形ABC”。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积= ×底×高考点二、全等三角形 （3~8分） 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）4、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 （8~10分） 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角 等边对等角 等角对等边边 底的一半<腰长<周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
