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逻辑代数篇(1):逻辑代数及运算
一、逻辑运算
1. “与”逻辑关系及运算
决定结果成立的所有条件都具备时，结果才成立，这种条件与结果之间的关系称为“与”逻辑。
以二只串联开关控制一只电灯为例，只有当二只开关都闭合时，电灯才亮。令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
该“与”逻辑关系也可写成逻辑表达式形式：。
从逻辑运算上，是逻辑乘关系，0×0=0，0 ×1=0，1 ×0=0，1 ×1=1，“与”逻辑关系用“与”门逻辑符号表示：
2. “或”逻辑关系及运算
决定结果成立的所有条件只要有一个具备时，结果就成立，这种条件与结果之间的关系称为“或”逻辑。这种关系在日常生活中也是非常普遍的。以二只并联开关控制一只电灯为例，当其中一只开关闭合时，电灯就亮。 令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
逻辑关系式为：。
逻辑运算为逻辑加0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，逻辑符号如下：
真值表：
3. “非”逻辑关系及运算
条件具备时，结果不成立，条件不具备时结果成立，这种条件与结果之间的关系称为“非”逻辑。逻辑式为：，是求反运算。
逻辑符号如下：
4.复杂和复合逻辑关系
(1) 异或逻辑关系
二个条件相同时，结果不成立，二个条件相异时，结果成立。 函数式：。
逻辑符号：
(2) 同或逻辑关系
二个条件相同时，结果成立，二个条件相异时，结果不成立。 函数式：。
逻辑符号：
(3)复合逻辑关系
它由“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关系组合而成。
二、逻辑运算中的运算定律，常用公式，运算规则
逻辑运算中只有逻辑加、逻辑乘和求反三种运算。
1 . 运算定律
0-1律：
重叠律：
互补律：
否定之否定律：
交换律：
结合律：
分配律：
荻魔根定律：，其中后四个定律可以用前四个进行证明成立，也可用真值表证明等式成立。
2 .常用公式
，，，，
，
3 .运算规则
对偶规则：“0” →“1”、“1” →“0”、“” →“+”、“+” →“”变换前后两式为对偶式，并成立。
反演规则： “0” →“1”、“1” →“0”、“” →“+”、“+” →“”、原变量换反变量、反变量换原变量，变换后的式子是原函数的反函数。
三、逻辑函数的表示方法及标准表达式
1 . 逻辑问题的五种表示方法
下图是三只开关控制一只电灯电路。
(1) 真值表表示
令开关合上为“1”，不合为“0”，灯亮为“1”，暗为“0”时真值表。
(2) 函数表达式表示：。
(3)逻辑图和波形图表示：
2 . 逻辑函数的标准“与—或”表达式
三开关控制一只电灯的逻辑问题的三种表达式：
第一种是由各“与项”之和组成，而每个“与”项是一个最小项，即是标准“与—或”表达式。
最小项：最小项中的变量个数和函数中的变量数相同，但最小项中的变量可以是函数的原变量，也可以是反变量。因此，上述例子的标准“与—或”表达式应该是：
因此,变量的逻辑函数，应有8个最小项()。由此可见:对输入变量的任何一种取值，只有一个最小项的值为1；任何二个最小项相与结果为零(即)；全部最小项之和，其值恒为1(即)；只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相邻，可合并成一项，并消去一个变量。只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相邻，可合并成一项，并消去一个变量。
3. 逻辑函数的标准“或—与”表达式
“或—与”表达式由各“或”项之积组成，而每个“或”项是一个最大项。
最大项：最大项中的变量个数和函数中的变量数相同，最大项中的变量同样可以是原变量，也可以是反变量。因此，三只开关控制电灯例子的标准“或—与”表达式应该是：
与最小项时对应，最大项对输入变量的任何一种取值，只有一个最大项的值为0；任何二个最大项相或，结果为1，即：。全部最大项之积，其值恒为0，即：。
只差一个变量不同的二个最大项，逻辑上称相邻，可合并成一项，并消去一个变量。
上述可见：最小项之和和最大项之积式只是同一个逻辑问题的二种不同表示方法。是一种互补的表示方法，有：。
逻辑代数篇(2):第 一 章 逻辑代数基础
第 一 章 逻辑代数基础
教学要求：
理解数制与编码，掌握数制间的转换；
熟练掌握基本定理和公式并能导出常用公式；
理解真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图表示逻辑函数；
掌握公式化简法、卡诺图化简法简化逻辑函数。
教学重点：
数制与编码。
逻辑函数及其表示。
逻辑函数的化简。1.1 概述 布尔：英国数学家， 1949 年提出变量 “ 0” 和 “ 1” 代表不同状态。
本章主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的代数化简法
和卡诺图化简法。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。
1.2 逻辑函数及其表示法
1 . 2 . 1 基本逻辑运算
1 、与运算 ——— 所有条例都具备事件才发生
开关： “ 1” 闭合， “ 0” 断开 ； 灯： “ 1” 亮， “ 0” 灭
真值表：把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。
逻辑表达式： L=K1*K2 ( 逻辑乘 )
逻辑符号： 原有符号：
讨论与逻辑运算的逻辑口诀
逻辑功能口决： 有 “ 0” 出 “ 0” ，全 “ 1” 出 “ 1” 。
2 、或运算 ——— 至少有一个条件具备，事件就会发生。
真值表：
K1
K2
L
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
逻辑表达式： L=K1+K2 （逻辑加）逻辑符号：
讨论或逻辑运算的逻辑口诀
逻辑功能口决：有 “ 1” 出 “ 1” 全 “ 0” 出 “ 0”
3 、非运算： — 结果与条件相反
逻辑表达式： 1
逻辑符号：
1.2.2 几种导出的逻辑运算
一、与非运算、或非运算、与或非运算 二、异或运算和同或运算
逻辑表达式： 相同为 “ 1”，不同为 “ 0”
1. 3 逻辑代数的基本定律和规则
1.3.1 逻辑代数的基本公式
一、逻辑常量运算公式
表 1.3.1逻辑常量运算公式
二 逻辑变量 、 常量运算公式
表 1.3.2逻辑变量 、 常量运算公式
变量 A 的取值只能为 0 或为 1 ，分别代入验证。
1.3.2 逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。这些定律和普通代数
相似，有其独特性。
一、与普通代数相似的定律 表 1.3.3交换律 结合律 分配律
二 吸收律
吸收律可以利用基本公式推导出来，是逻辑函数化简中常用的基本定律
表1.3.4 吸收律
与学生一同验证以上四式。 第 ④ 式的推广： （ 1.3.1 ） 由表 1.3.4 可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。
三、摩根定律
表 1.3.5
表 1.3.6
1.3.3 逻辑代数的三个重要规则
一、代入规则
对于任一个含有变量 A 的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量 A 用同一个逻辑函数替代，替代后等
式仍然成立。这个规则称为代入规则。代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。
若两函数相等，其对偶式也相等。 （可用于变换推导公式）。
讨论三个规则的正确性。
1.4.1 逻辑函数及其表示法
一、逻辑函数的建立 举例子说明建立（抽象）逻辑函数的方法，加深对逻辑函数概念的理解。
例 1.4.1两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反
之下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试建立其逻辑式。
［例 1.4.1］真值表
二、逻辑函数的表示方法
1 ．真值表
逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有 n 个变量时，共有2n个不同的变量取值组合。在列真
值表时，变量取值的组合一般按 n 位二进制数递增的方式列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、
明了，可直接看出逻辑函数值和变量取值之间的关系。分析逻辑式与逻辑图之间的相互转换以及如何由
逻辑式或逻辑图列真值表。
2 ．逻辑函数式
写标准与 - 或逻辑式的方法是：
（ l ）把任意一组变量取值中的 1 代以原变量， 0 代以反变量，由此得到一组变量的与组合，
如 A、 B 、 C 三个变量的取值为 110 时，则代换后得到的变量与组合为 A B C 。
（ 2 ）把逻辑函数值为 1 所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与 - 或逻辑式。
3 ．逻辑图
逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。
1.5 逻辑函数的公式化简法
1. 5 . 1化简的意义与标准
一、化简逻辑函数的意义
根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到
最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件，优化生产工艺，降
低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。
二、逻辑函数式的几种常见形式和变换
三、逻辑函数的最简与 - 或式
1 . 5 . 2 逻辑函数的代数化简法
一、并项法
在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简式 .
1.6 逻辑函数的卡诺图化简法
1. 6. 1最小项与卡诺图
一、最小项的定义和性质
1 ．最小项的定义 ：n个变量X1,X2,X3…,XN的最小项是n个因子的乘积,每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘
积项中出现,且仅出现一次.
特点：每项都有 n 个变量
每个乘积项中每个变量出现且仅出现 1 次
2 ．最小项的基本性质
a ．只有一组取值使之为 “ 1”
b ．任二最小项乘积与 “ 0”
c ．所的最小项之和为 “ 1”
二、表示最小项的卡诺图
1 ．相邻最小项
逻辑相邻项 —— 只有一个变量取值不同其余变量均相同的最小项
两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相同变量。
对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用。
1. 6. 2 用卡诺图表示逻辑函数
一、逻辑函数的标准与 - 或式
如一个或逻辑式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑式叫做标准与 - 或式，又称为最小项表达式，并
且标准与 - 或式是唯一的。
二、用卡诺图表示逻辑函数
1 ．最小项表达式 卡诺图
例 1. 6. 2试画出例 1. 5. 1 中的标准与 - 或式的卡诺图。
解：（ 1 ）画出 4 变量最小项卡诺图，如图 2. 5. 4所示。
2 ．真值表 卡诺图
逻辑函数真值表和逻辑函数的标准与 - 或式是 — 一对应的关系，所以可以直接根据真值表填卡诺图。
3 ．一般表达式样 卡诺图
(1) 、化为最小项表达式
(2) 、把卡诺图中含有某个与项各变量的方格均填入 1 ，直到填完逻辑式的全部与项。
1.6.3 用卡诺图化简逻辑函数
步骤： ① 画卡诺图 ② 正确圈组 ③ 写最简与或表达式
1. 7. 1 具有无关项的逻辑函数的化简
一、逻辑函数中的无关项
用 “×” （或 “d” ）表示
利用无关项化简原则：
① 、 无关项即可看作 “ 1” 也可看作 “ 0” 。
② 、 卡诺图中，圈组内的 “×” 视为 “ 1” ，圈组外的视为 “ 0” 。
例 1.7.1为 8421BCD 码，当其代表的十进制数 ≥5 时，输出为 “ 1” ，求 Y 的最简表达式。（用于间断输入是否大于 5 ）
解：先列真值表，再画卡诺图
本章小结
常用的数制： 二进制，十进制，十六进制。
常用的编码： BCD 码，循环码。
基本逻辑运算关系有： 与、或、非。
常用的复合逻辑运算关系有： 与非、或非、异或、同或等 。
表示逻辑电路的方法主要有： 逻辑函数表达式、真值表、卡诺图和逻辑图。
逻辑函数的标准形式有： 最小项之和与最大项之积两种形式。
逻辑函数常用的化简方法有： 代数化简法和卡诺图法。
逻辑代数篇(3):可编程控制器梯形图的设计方法
可编程控制器梯形图的设计方法
教程来源：网络 作者：德维森科技(深圳)有限公司 点击：930 更新时间：2009-6-9 14:24:08
一、引言 可编程控制器是将继电器控制的概念和设计思想与计算机技术及微电子技术相结合而形成的 专门从事逻辑控制的微机系统。在PC系统应用中，梯形图的设计往往是最主要的问题。梯形图不但沿用和发展了电气控制技术，而且其功能和控制指令已远远超过电气控制范畴。它不仅可实现逻辑运算，还具有算术运算、数据处理、联网通信等功能，是具有工业控制指令的微机系统。由于梯形图的设计是计算机程序设计与电气控制设计思想结合的产物，因此，在设计方法上与计算机程序设计和电气控制设计既有着相同点，也有着不同点。本文对开关量控制系统梯形图的设计，提出了四种常用方法。
二、替代设计法 所谓替代设计法，就是用PC机的程序，替代原有的继电器逻辑控制电路。它的基本思想是： 将原有电气控制系统输入信号及输出信号做为PC的I/O点，原来由继电器—接触器硬件完成的逻辑控制功能由PC机的软件—梯形图及程序替代完成。例如，电动机正反转控制电路，原电气控制线路图如图1所示。由PC控制替代后，其I/O接线 图和梯形图分别如图2、3所示。
图3PC梯形图这种方法，其优点是程序设计方法简单，有现成的电气控制线路作依据，设计周期短。一般 在旧设备电气控制系统改造中，对于不太复杂的控制系统常采用。 三、逻辑代数设计法 由于电气控制线路与逻辑代数有一一对应的关系，因此对开关量的控制过程可用逻辑代数式 表示、分析和设计。 基本设计步骤如下： 1、根据控制要求列出逻辑代数表达式。 2、对逻辑代数式进行化简。 3、根据化简后的逻辑代数表达式画梯形图。下面举一简单例子来具体说明。 某一电动机只有在三个按钮中任何一个或任何两个动作时，才能运转，而在其他任何情况下 都不运转，试设计其梯形图。 将电动机运行情况由PC输出点0500来控制，三个按钮分别对应PC输入地址为A、B、C。根据题意，三个按钮中任何一个动作，PC的输出点0500就有输出。其逻辑代数表达式为当三个按钮中有任何两个动作时，输出点0500的逻辑代数表达式为因两个条件是“或”关系，所以电动机运行条件应该为简化该式得
图4 电动机运行情况梯形图 根据逻辑代数表达式，画梯形图，如图4所示。 图4利用这种方法设计，最大的特点是可以把很多的逻辑关系最简化。 当然出于可靠和安全性角度考虑的冗余设计是另外一个问题。 四、程序流程图设计法 PC采用计算机控制技术，其程序设计同样可遵循软件工程设计方法，程序工作过程可用流程 图表示。由于PC的程序执行为循环扫描工作方式，因而与计算机程序框图不同点是，PC程序框图在进行输出刷新后，再重新开始输入扫描，循环执行。 下面以全自动洗衣机控制为例，说明这种设计方法的应用。 首先画出洗衣机工艺流程图，如图5所示。
图5洗衣机工艺流程图第二步选择PC机型，设置I/O点编号。其I/O点编号分配如下： I/O点分配 计时/计数器分配 00起动开关 T600正转计时 01停止开关 T601暂停计时 02手动排水开关 T602反转计时 03高水位开关 T603暂停计时 04低水位开关 T604脱水计时 20起动洗衣机 T605报警计时 21进水 C606洗涤次数 22正转洗涤 C607脱水次数 23反转洗涤 25排水 26脱水 27停止、报警 第三步，根据流程图，设计梯形图，如图6所示
图6洗衣机梯形图五、功能模块设计法 根据模块化设计思想，可对系统按控制功能进行模块划分，依次对各控制的功能模块设计梯 形图。 例如，在PC电梯控制系统中，对电梯控制按功能可分为：厅门开关控制模块，选层控制模块，电梯运行控制模块，呼梯显示控制模块等。按电梯功能进 行梯形图设计，可使电梯相同功能的程序集中在一起，程序结构清晰，便于调试，还可以根 据需要灵活增加其他控制功能。 当然，在设计中要注意模块之间的互相影响时、时序关系，以及联锁指令的使用条件。同一 种控制功能可有不同的软件实现方法，应根据具体情况采用简单实用的方案，并应充分利用 不同机型所提供的编程指令，使程序尽量简洁。六、结束语 本文介绍了PC梯形图的四种设计方法，除此之外，还有其他一些方法，如经验法。在系统设 计中对不同的环节，可根据具体情况，采用不同的设计方法。通常在全局上采用程序框图及功能模块方法设计；在旧设备改造中，采用替代法设计；在局部或具体功能的程序设计上，采用逻辑代数法和经验法。
