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辅助线篇(1):辅助线
截长补短
遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论．
1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．
2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．
3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．
【典型例题】——截长补短
042．如图，点D为等腰直角三角形△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，则①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB＝45°；④DE＝AD＋CD，其中正确的有（）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD，
∴D在AB的垂直平分线上，∵AC＝BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°，
∴∠BDE＝∠DBA＋∠BAD＝60°；∴∠CDE＝∠BDE，即DE平分∠BDC；
（2）∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝15°，由①得∠CDE＝60°，∠DCB＝45°，
∴∠BCE＝60°，∵AC＝BC，∴CE＝BC，∴△BCE是等边三角形；
（3）由②得△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEA＝45°；
（4）【方法一】
如图，在DE上取一点F，使得DF＝CD，并连接CF，
∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴∠BDC＝120°，△DCF为等边三角形，
∴∠DFC＝60°，DC＝FC，∴∠CFE＝∠CDB＝120°，
∵CB＝CE，∴△BDC≌△EFC，∴EF＝BD，
∴DE＝EF＋DF＝BD＋CD＝AD＋CD．
【方法二】
如图，延长DC至点F，使得CF＝AD，并连接EF，
∵AD＝DB，∴CF＝BD，∵等边△BCE，∴∠CBE＝∠BCE＝60°，BE＝CE，
∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝75°，∵∠BCD＝45°，∴∠ECF＝180°－∠DCE＝75°，
∴∠DBE＝∠ECF，∴△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，
∵∠CDE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴DE＝DF＝DC＋CF＝AD＋CD．
【总结】线段和差的问题可以考虑使用截长补短的方法．
【举一反三】
042．（15十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为（ ）．
辅助线篇(2):辅助线
1．如图1，△ABC内部有一点D，AB＝AC．将△ABD绕着点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点D与点D′重合．
图1 图2
2．如图3，△ABC外部有一点D，AB＝AC．将△ACD绕着点A顺时针旋转，使得AC与AB重合，点D与点D′重合．
图3 图4
2．如图5，△ABC边BC上有两点D，E，∠BAC＝2∠DAE（或∠DAE＝∠BAC）．将△ACE绕着点A逆时针旋转，使得AC与AB重合，点E与点E′重合，并连接DE′，则△ADE≌△ADE′．
【典型例题】——旋转辅助线
044．（15资阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝
；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF＋BE＝EF；④MG·MH＝，其中正确结论为．
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
【解析】
解：（1）由题可知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝
＝，故①正确；
（2）如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，
∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，
∴CE＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC＝AC＝MH，故②正确；
（3）如图2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；
∵∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝∠3＋∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．
在△ECF和△ECD中，CF＝CD，∠2＝∠DCE，CE＝CE，∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠BDE＝90°，
∴DE2＝BD2＋BE2，即EF2＝AF2＋BE2，故③错误；
（4）∵∠7＝∠1＋∠A＝∠1＋45°＝∠1＋∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，
故答案为：C．
【总结】如果两条线段“共点等长”（有公共端点且长度相等）或者两个有公共顶点的角是倍半的关系可以考虑使用旋转的方法．
【举一反三】
044．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA＝3，PB＝5，PC＝4，则∠APC＝ °．
辅助线篇(3):【方法】辅助线到底该怎么加？
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人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况：
1、按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
(1)平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
(7)相似三角形：
相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
(8)特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2;30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
(9)半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二.基本图形的辅助线的画法
三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2. 平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
(1)连对角线或平移对角线：
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3. 圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
(1)见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
(2)见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
(3)见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
(4)两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
(5)两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
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