九年级数学上下册知识点

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【一】:初三数学下册知识点归纳

初三数学下册知识点归纳

知识点1：一元二次方程的基本概念

1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2.

2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2.

3．一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7.

4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.

知识点2：直角坐标系与点的位置

1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。 2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限.

知识点3：已知自变量的值求函数值

1．当x=2时,函数y=2x3的值为1. 2．当x=3时,函数y=1的值为1.

x2

3．当x=-1时,函数y=1的值为1.

x3

知识点4：基本函数的概念及性质

1．函数y=-8x是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数y12

x是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线y12

(x1)22的顶点坐标是(1,2).

7．反比例函数y

2

x

的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4.

3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.

知识点6：特殊三角函数值

知识点7：圆的基本性质

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.

2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.

9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

知识点8：直线与圆的位置关系

1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线.

6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.

7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径.

知识点9：圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.

2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点.

知识点10：正多边形基本性质

1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形.

3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

知识点11：一元二次方程的解

1．方程x240的根为.

7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根 A.x1=-3,x2=4 B.x1=-3,x2=-4 C.x1=3,x2=4

A．x=2 B．x=-2 C．x1=2,x2=-2 D．x=4 2．方程x2-1=0的两根为A．x=1 B．x=-1 C．x1=1,x2=-1 D．x=2 3．方程（x-3）（x+4）=0的两根为.

D.x1=3,x2=-4

4．方程x(x-2)=0的两根为A．x1=0,x2=2 B．x1=1,x2=2 C．x1=0,x2=-2 D．x1=1,x2=-2 5．方程x2-9=0的两根为A．x=3 B．x=-3 C．x1=3,x2=-3 D．x1=+3,x2=- 知识点12：方程解的情况及换元法

1．一元二次方程4x23x20的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

8. 不解方程,判断方程5y2+1=25y的根的情况是

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 用 换 元 法 解方 程 x25x3(x3)

x2

4时, 令 x2

x3

= y,于是原方程变 A.y2

-5y+4=0 B.y2

-5y-4=0 C.y2

-4y-5=0

D.y2

+4y-5=0

10. 用换元法解方x25x3x3(x3)

x2

4时,x2= y ,于是原方程变为 . A.5y2

-4y+1=0 B.5y

2

-4y-1=0 C.-5y

2

-4y-1=0

D. -5y2

-4y-1=0 11. 用换元法解方程(

xx1)2-5(xx1

)+6=0时，设x

x1

=y，则原方程化为关于y的方程是A.y2+5y+6=0 B.y2-5y+6=0 C.y2+5y-6=0 D.y2-5y-6=0

知识点13：自变量的取值范围

1．函数yx2中，自变量x的取值范围是 A.x≠2 B.x≤-2 C.x≥-2 D.x≠-2 2．函数y=

1

x3

的自变量的取值范围是 . A.x>3 B. x≥3 C. x≠3 D. x为任意实数 3．函数y=

1

x1

的自变量的取值范围是 . A.x≥-1 B. x>-1 C. x≠1 D. x≠-1 4．函数y=

1

x1

的自变量的取值范围是 . A.x≥1 B.x≤1 C.x≠1 D.x为任

意实数 5．函数y=

x5

的自变量的取值范围是 . 2

A.x>5 B.x≥5 C.x≠5 D.x为任意实数

8. 已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是 .

A.100° B.130° C.80° D.50° 9. 在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 cm.

O

C

A.3 B.4 C.5 D. 10 10. 已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周

知识点14：基本函数的概念 A

角∠ACB的度数是 .

1．下列函数中,正比例函数是A.100° B.130° C.200° D.50°

12．在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆 A. y=-8x B.y=-8x+1 C.y=8x2+1

•

B

D.y=8x

2．下列函数中,反比例函数A. y=8x2

B.y=8x+1 C.y=-8x D.y=-8

x

3．下列函数：①y=8x2；②y=8x+1；③y=-8x；④y=-8x

.其中,

一次函数有 个 . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点15：圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是. A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数A.100° B.130° C.200° D.50

心到此弦的距离为 . A. 3cm B. 4 cm C.5 cm D.6 cm

知识点16：点、直线和圆的位置关系

1．已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O

的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系www.shanpow.com_九年级数学上下册知识点。

为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离

2．已知圆的半径为A

6.5cm,直

线l和圆心的距离为O7cm,那么这条直线和这个圆的

A位置关系是 . B

D

C

A.相切 B.相离

OC.相交 D. 相离或相交 B

D

3．已知圆O的半径为AC

6.5cm,PO=6cm,那么点P和这个圆的位置关系是 A.点在圆上

B. O

•

点在

圆内

C.

点在圆外 B D

CD.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不

A

能确定 • O5．一个圆的周长为

a cm, 面积为 a cm2，B

D

C如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系

是 . Awww.shanpow.com_九年级数学上下册知识点。

A.相切 B.相离 O

C.相交 D. 不能

C确定 B

Owww.shanpow.com_九年级数学上下册知识点。

D

6．已知圆的半径为

•

CA

B

6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 8. 已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 . A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 知识点17：圆与圆的位置关系 1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.

A.内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是. A.外切 B.相交 C. 内切 D.

内含

4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若

O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是A.外离 B. 外切 C.相交 D.内切 5．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两

圆的一条外公切线长4，则两圆的位置关系

是 .

A.外切 B. 内切 C.内含 D. 相交 6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是. A.外切 B.相交 C. 内切 D. 内含 知识点18：公切线问题

1．如果两圆外离，则公切线的条数为.

A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条

2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为 . A. 1条 B. 2条 C.3条 D.4条 3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为 . A. 1条 B. 2条 C.3条 D.4条 4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为 . A. 1条 B. 2条 C.3条 D.4条 5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有. A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4 条 6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若

O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有.

A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 知识点19：正多边形和圆

1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为 . A. 5cm B.cm C.10cm D.5

πcm 2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为 . A. 2 B. 3 C.1 D.2

3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为 . A. 2 B. 1 C.2 D.3

4 ．扇形的面积为

23,半径为2,那么这个扇形的圆

心角为= . A.30° B.60° C.90° D. 120° 5．已知,正六边形的半径为R,那么这个正六边形的

边长为 .

A.

1

2

R B.R C.2R D.3R

6．圆的周长为C,那么这个圆的面积.

5．反比例函数y=

C2C2

A.C B. C. D.

24

2

C2

2

的图象在 . x

A.第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 6．反比例函数y=-

7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 .

A.1:2 B.1:10

的图象不经过 . x

C.3:2

A第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. D.1:2

8. 圆的周长为C,那么这个圆的半径. A.2C B. C C.

C

2

D. C

9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的半径为 . A.2 B.4 C.22 D.23

10．已知,正三角形的半径为3,那么这个正三角形的边长为 . A. 3 B. 3 C.32 D.33

知识点20：函数图像问题

1．已知：关于x的一元二次方程ax2bxc3的一个根为x12，且二次函数yax2bxc的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标是 .

A. (2，-3) B. (2，1) C. (2，3) D. (3，2)

2．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是 .

A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2)

3．一次函数y=x+1的图象在. A.第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限

C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 4．函数y=2x+1的图象不经过 .

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

第二、四象限

7．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是 .

A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2) 8．一次函数y=-x+1的图象在.

A．第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限

9．一次函数y=-2x+1的图象经过 . A．第一、二、三象限 B.第二、三、四象限

C. 第一、三、四象限 10.

D.第一、二、四象限

已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0且a、b、c为常数）的对称轴为x=1，且函数图象上有三点A(-1,y1)、

B(1

2,y2)、C(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是 .

A.y3<y1<y2 B. y2<y3<y1 C. y3<y2<y1 D. y 1 <y

3<y2

知识点21：分式的化简与求值

1．计算：(xy

4xyxy)(xy4xy

xy

)的正确结果为 .

A. y2x2 B. x2y2 C. x24y2 D.

4x2y2

2.计算：1-（a121a)2aa1a22a1

的正确结果为 .

A. a2a B. a2a C. -a2

a D. -a2

a

3.计算：x2x(122x)的正确结果为 .

A.x B.1

1x

C.-x D.

【二】:初中数学九年级上下册知识点总结

[九年级(上册)

第一章 证明(二)

※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的

直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：abc（注意区分斜边与直角边）

②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）

※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义） ．．．．．．．．．

<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>

※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，

AO=BO=CO）

C C 图2 图1

※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF)

第二章 一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为axbxc0（a、b、c为

常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 ．．．．．．

※把axbxc0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为(xm)0的形式> 222222

bb24ac②公式法 x （注意在找abc时须先把方程化为一般形式） 2a

③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※根与系数的关系：当b-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

2当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

2当b-4ac<0时，方程无实数根。

※如果一元二次方程axbxc0的两根分别为x1、x2，则有：22

x1x2b

ax1x2c。 a

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

22①x1x2(x1x2)22x1x2 ②11x1x2 ③x1x2x1x2

(x1x2)2(x1x2)24x1x2 ④|x1x2|(x1x2)24x1x2 ⑤(|x1||x2|)2(x1x2)22x1x22|x1x2|

33⑥x1x2(x1x2)33x1x2(x1x2) ⑦其他能用x1x2或x1x2表达的代数

式。

（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x(x1x2)xx1x20

（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程2

x2(x1x2)xx1x20 的根

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

※处理问题的过程可以进一步概括为： 问题分析求解方程解答 抽象检验

第三章 证明（三）

※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶．．．．．

点连成的线段叫做它的对角线。 ．．．

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距

离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对

角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ．．

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称

图形，有两条对称轴）

※矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第四章 视图与投影

※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。

主视图：基本可认为从物体正面视得的图象

俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象

左视图：基本可认为从物体左面视得的图象

※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。

※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。

※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。 ．．

太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 ．．．．

探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中．心投影。 ．．．

※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。 ．．．．．．

※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。 ①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

第五章 反比例函数 ※反比例函数的概念：一般地，yk（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反x

比例函数。

（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）

※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ yk(k0) ←→ ykx1(k0) x

←→ xyk(k0) ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.

※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即xyk>。（通常第二种方法更适用）

※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线

※反比例函数性质：

①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。

※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)

点P(x,y)在双曲线上都有

S矩形OAPB|xy||

k|SAOB1|2第六章 频率与概率 ※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数； ．．每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：．．

频率频数频数 数据总数实验次数

在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于

1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。

用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。

※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；

※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照10010估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是x200

XX”）

※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。

、九年级](下册)

第一章 直角三角形边的关系

※一. 正切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即．．

tanAA的对边; A的邻边

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

【三】:九年级数学上册重要知识点总结

　　人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率以下是学习啦小编整理的初一数学重要章节的的知识点，给大家的学习提供资料，希望能帮到你。

　　九年级数学(上)知识点

　　第二十一章 二次根式

　　一.知识框架

　　二.知识概念

　　二次根式：一般地，形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当a>0时，√a表示a的算数平方根,其中√0=0

　　对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：

　　1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由;

　　2. 了解最简二次根式的概念;

　　3. 理解并掌握下列结论：

　　1) 是非负数;　(2) ;　(3) ;

　　4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算;

　　5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

　　第二十二章 一元二次根式

　　一.知识框架

　　二.知识概念

　　一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

　　一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

　　本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。

　　(1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.

　　(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.

　　介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

　　(3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

　　解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

　　第二十三章 旋转

　　一.知识框架

　　二.知识概念

　　1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。(图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。)

　　2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°，大于360°)。

　　3.中心对称图形与中心对称：

　　中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

　　中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

　　4.中心对称的性质：

　　关于中心对称的两个图形是全等形。

　　关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

　　关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。

　　本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。

　　第二十四章 圆

　　一.知识框架

　　二.知识概念

　　1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

　　2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

　　3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

　　4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

　　5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

　　6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

　　7.圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO

　　8.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

　　9.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r

　　10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　11.切线的性质：(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

　　12.垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　13.有关定理：

　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

　　在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

　　半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

　　14.圆的计算公式　　1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180

　　15.扇形面积S=π(R^2-r^2) 5.圆锥侧面积S=πrl

【四】:七年级数学上册、下册重要知识点总结

　　初一数学上册主要包括四个章节的内容；下册主要包括相六章内容。为帮助大家更好地掌握七年级数学每个章节的重要内容，小编整理了一些知识点以供学习复习参考!

　　七年级数学(上)知识点

　　第一章 有理数

　　一、知识框架

　　二.知识概念

　　1.有理数：

　　(1)凡能写成 形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;p不是有理数;

　　(2)有理数的分类: ① ②2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

　　3.相反数：

　　(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;

　　(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.

　　4.绝对值：

　　(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

　　(2) 绝对值可表示为： 或 ;绝对值的问题经常分类讨论;

　　5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0，小数-大数 < 0.

　　6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;若 a≠0，那么 的倒数是 ;若ab=1? a、b互为倒数;若ab=-1? a、b互为负倒数.

　　7. 有理数加法法则：

　　(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

　　(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

　　(3)一个数与0相加，仍得这个数.

　　8.有理数加法的运算律：

　　(1)加法的交换律：a+b=b+a ;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

　　9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).

　　10 有理数乘法法则：

　　(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;

　　(2)任何数同零相乘都得零;

　　(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

　　11 有理数乘法的运算律：

　　(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);

　　(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac .

　　12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数， .

　　13.有理数乘方的法则：

　　(1)正数的任何次幂都是正数;

　　(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .

　　14.乘方的定义：

　　(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;

　　(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;

　　15.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

　　16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

　　17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

　　18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

　　本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.

　　体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

　　第二章 整式的加减

　　一.知识框架　　二.知识概念

　　1.单项式：在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

　　2.单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

　　3.多项式：几个单项式的和叫多项式.

　　4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

　　通过本章学习，应使学生达到以下学习目标：

　　1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。

　　2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。

　　3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上;理解合并同类项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。

　　4.能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。

　　在本章学习中，教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。

【五】:初三数学重点知识点

　　掌握每一个重要的知识点，会让你的学习更上一层楼。下面是学习啦小编为大家收集整理的初三数学重点知识点，相信这些文字对你会有所帮助的。
 

　　初三数学重点知识点(一)

　　圆的面积s=π×r×r

　　其中，π是周围率，约等于3.14

　　r是圆的半径。

　　圆的周长计算公式为：C=2πR.C代表圆的周长，r代表圆的半径。圆的面积公式为：S=πR2(R的平方).S代表圆的面积，r为圆的半径。

　　椭圆周长计算公式

　　椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

　　椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

　　椭圆面积计算公式

　　椭圆面积公式：S=πab

　　椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

　　以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

 

　　初三数学重点知识点(二)

　　1.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

　　2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

　　3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。

　　4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。

　　5.垂直于半径的直线必为圆的切线。

　　6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。

　　7.垂直于半径的直线是圆的切线。

　　8.圆的切线垂直于过切点的半径。

 

　　初三数学重点知识点(三)

　　1、矩形的概念

　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

　　2、矩形的性质

　　(1)具有平行四边形的一切性质

　　(2)矩形的四个角都是直角

　　(3)矩形的对角线相等

　　(4)矩形是轴对称图形

　　3、矩形的判定

　　(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

　　(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

　　4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab

 

　　初三数学重点知识点(四)

　　1、正方形的概念

　　有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

　　2、正方形的性质

　　(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;

　　(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;

　　(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角;

　　(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;

　　(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;

　　(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

　　3、正方形的判定

　　(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

　　先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

　　先证它是菱形，再证有一个角是直角。

　　(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

　　先证明它是平行四边形;

　　再证明它是菱形(或矩形);

　　最后证明它是矩形(或菱形)。

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