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初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【一】:九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理
点、线和圆的位置关系
一、本节学习指导
和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d＜r ＜====＞ 点P在⊙O内；
d＝r ＜====＞ 点P在⊙O上；
d＞r ＜====＞ 点P在⊙O外。
注：点和圆的位置关系只有：在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。
2、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交 ＜====＞ d<r；
直线l与⊙O相切 ＜====＞ d=r；
直线l与⊙O相离 ＜====＞ d>r；
3、切线的判定和性质
（1）、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理
（1）、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的
长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆
（1）、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。如图圆
O是△ABC的外接圆
（3）、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的
交点，它叫做这个三角形的外心。
（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
(5)、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【二】:初三数学圆知识点总结
圆——知识点总结归纳
要点归纳
一．圆的认识 1．圆的定义
（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周， 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念
（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中 的CD）。
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。 直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如 右图中的CD、CAD）
其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小www.shanpow.com_初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结。
于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4．过三点的圆。
（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。 5．垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：
（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧。
（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6．与圆相关的角
（1）与圆相关的角的定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 （2）与圆相关的角的性质
A
B
①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；
⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 二．与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系
如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外?dr （2）点在圆上?dr （3）点在圆内?dr 2．直线和圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
（1）直线和圆相离?dr，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切?dr，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交?dr，直线与圆有两个交点。 3．圆的切线
（1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。 （2）切线的判定定理
经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。 （3）切线的性质定理及推论
定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论：
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4．两圆的位置关系
设R、r为两圆的半径，d为圆心距 （1）两圆外离?dR+r； （2）两圆外切?dR+r； （3）两圆相交?R（4）两圆内切?d（5）两圆内含?d
r<d<R+r(R r)； R-r(R>r)；
（注意：如果为d=0，则两圆为同心圆。） R-r(R>r)。
5．两圆连心线的性质
（1）相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角。（注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，很易证明。）
（2）相切两圆的连心线必经过切点。
（3）相离两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角。 6．两圆公切线的性质
（1）如果两圆有两条外公切线，则两外公切线长相等。 （2）如果两圆有两条内公切线，则两内公切线长相等。
8．与圆有关的比例线段问题的一般思考方法 （1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；
（2）找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。 9．与圆相关的常用辅助线 （1）有弦，可作弦心距；
（2）有直径，可作直径所对的圆周角； （3）有切点，可作过切点的半径； （4）两圆相交，可作公共弦； （5）两圆相切，可作公切线； （6）有半圆，可作整圆。
记忆口诀：有弦可作弦心距，中心圆心相连；两圆相切公切线，两圆相交公共弦；遇到切点作半径，圆与圆心连心；遇到直径相直角，直角相对点共圆。（注：“心连心”为连心线。） 10．圆外切三角形和四边形的性质
（1）如右图，△ABC是⊙O的外切三角形，D、E、F为切点，则
AD=AF=
AB+AC-BD
2
同理：直角三角形内切圆半径R=
a+b-c
。（其中a、b为直角边，c为斜边） 2
（2）圆外切四边形两组对边和相等，即如右图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，则 AB+CD＝AD+BC。 三．圆中的计算问题 1．圆的有关计算
（1）圆周长：c=2pR （2）弧长：l=
npR
； 180
2
（3）圆面积：S=pR；
1npR2
（4）扇形面积：S扇形＝lR=；
2360
（5）弓形面积：S弓形＝S扇形±SD
2．圆柱
圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl=2prl。
3．圆锥
圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c，半径等于圆锥母线长l，若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为a，则a=
r1
360，S圆锥侧＝cl=prl。 l2
初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【三】:初三数学圆知识点总结
初三数学 圆知识点总结
一、本章知识框架
二、本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外；
d＝r点P在⊙O 上； d<r点P在⊙O 内．
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．www.shanpow.com_初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结。
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．
(4)垂心：是三角形三边高线的交点．
6．切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
7．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．
8．直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．
(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．
9．圆和圆的位置关系： 设的半径为R、r(R>r)，圆心距．
(1)
外离
(2)含
(3)
外切
(4)d<R－r 有唯一公共点，除这个点外，
每个圆上的点都在另一个圆外部d＝R＋r． 的每个点都在
内部没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R＋r． 没有公共点，且的每一个点都在
外部内有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r． 相交(5)
有两个公共点R－r<d<R＋r．
10．两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．
11．圆中有关计算：
圆的面积公式：，周长C＝2πR．
圆心角为n°、半径为R的弧长．
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． ．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl
，全面积为． ，侧
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为
【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变
而改变？
，母线长、圆锥高、
底面圆的半径之间有．
分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，
在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．
解：
连结OP，
P点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断．
例2 下列命题正确的是( )
A．相等的圆周角对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆
D．平分弦的直径垂直于弦．
解：
A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．
B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．
C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．
故选B．
例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解：
设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°，
x＝45°．
∴∠D＝90°．
小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度
尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以
求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是
__________cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切
线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进
行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．
解：
．
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．
例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．
解：分两种情况讨论：
(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结又∵AB＝16
∴AC＝8． 在在故
(2)若，则垂直平分AB，∴ ． 中，中，． ． ． 位于AB的同侧(如图23-9)，设
．
的延长线与AB交于C
，连结
∵垂直平分AB， ∴．
又∵AB＝16，
∴AC＝8． 在在故中，中，．
． ．
初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【四】:初三数学圆的知识点总结及经典例题详解
1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆.
3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.
9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。
直线与圆的位置关系
1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.
4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线.
6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径.
圆与圆的位置关系
1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点.
正多边形基本性质
1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形.
3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是 A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数A.100° B.130° C.80° D.50°
4．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，则下列结论中正确的A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90
5．半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为www.shanpow.com_初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结。
A
O
A
B
C
D
O
B
C
•
D
A
•
B
C
O
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数A.100° B.130° C.200° D.50 O
•
8. 已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数A
A.100° B.130° C.80° D.50°
9. 在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 cm.
A.3 B.4 C.5 D. 10 10. 已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数A.100° B.130° C.200° D.50°
12．在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为A. 3cm B. 4 cm C.5 cm D.6 cm
DA
C
B
O
D
C
C
O
•
A
B
点、直线和圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离
2．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .
A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交
3．已知圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定
4．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 .
A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定
5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .
A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定
6．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系
是 .
A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定
7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .
A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 8. 已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO . A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定
圆与圆的位置关系
