定积分心得

【www.shanpow.com--工作总结】

【一】:定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念

一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1x2将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（x

xi1xixnb

ba

），在每个小区间xi1,xi上取一点n

ii1,2,,n，作和式：Snf(i)x

i1

i1

nn

ba

f(i) n

如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：S



b

a

f(x)dx

其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。 说明：（1）定积分



b

a

f(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n时）称为f(x)dx，而不是Sn．

a

b

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi；③求和：

nbbaba

；④取极限： f()f(x)dxlimfiiannni1i1n

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx． 1．分割

在区间0,b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间： 0,



n1bbb2b

，，„，,b ,nnnn

,n)，其长度为x

ibi1bb

 nnn

记第i个区间为

i1bib

,(i1,2,nn

把在分段0,





n1bbb2b

，，„，,b上所作的功分别记作：W1，W2，„，Wn ,nnnn

（2）近似代替www.shanpow.com_定积分心得。

i1bbi1b有条件知：WiF (i1,2,n, )xk

nnn

（3）求和

n

n

WnWi

i1

i1

i1bbkb2k=012

nwww.shanpow.com_定积分心得。

n

n2

kb2nn1kb21

n11 n2

22n

kb21

从而得到W的近似值 WWn1

2n

kb21kb2

（4）取极限WlimWnlimWilim 1nnn2n2i1

n

kb2所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：

2

内容二 定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分



a

b

f(x)dx表示由直线

xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分



a

b

f(x)dx的几何意义。

说明：一般情况下，定积分



b

awww.shanpow.com_定积分心得。

f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线xa,xb之间各部分面

积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数yf(x)，若yf(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式fx1xfx2x不妨设f(xi),f(xi1),

f(xi)x

fxnx

,f(xn)0

于是和式即为fx1xfx2x 

例2．计算定积分

f(xi1)x{[f(xi)x]

[fxnx]}



a

b

f(x)dx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）

2



1

(x1)dx

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为即：

5。 2



2

1

(x1)dx

5 2

内容三 定积分的性质

性质1 性质2 性质3

1dxba

a

b



b

b

ab

kf(x)dxkf(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

a

1

b

[f

aa

(x)f2(x)]dx

c

b

1b

a

f(x)dx

b

2

a

f(（定积分的线性性质）x)dx

（定积分对积分区间的可加性） a cb

b

b

b

性质4

f(x)dx

a

f(x)dx

c

(f)x其中d(x

说明：①推广： ②推广:



b

ab

[f1(x)f2(x)

c1a

fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx

a

a

c2c1

fm(x)

a



a

f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

ck

b

内容四 微积分基本定理

一般地，如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数，并且F'(x)f(x)，那么这个结论叫做微积分基本定理。

基本积分公式：

（1）（2）（3）



b

a

f(x)dxF(b)F(a)



b

ab

xmdx

1

xm1ba(mQ,m1)； m1

ba

a

1

dxlnxx

；



b

ab

； exdxexba

x

ba

ax

（4）adx

alna

（5）（6）

；



b

ab

cosxdxsinxba；

b

a

sinxdxcosx

a

例3 求



b

xx

2

a

.

解

因为

1112221222=2(1x)C(1x)

C 222即

(1x2)

10

1

2

有一个原函数为(1x)，所以

2

1



2

=(1x)

2

1

20

1

内容五 定积分的简单应用

. 1、 曲边图形面积：Sb

a

fxdx；

2、 变速运动路程S

t2

tv(t)dt；

1

3、 变力做功 W



b

a

F(r)dr

例4．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

y2解：如图：由x



x2y30得A（1，– 1），B（9，3）．

选择x作积分变量，则所求面积为

S10(dx

0112(x3)]dx=21129

1

(x3)dx

=4323 2129x239323x|03x|1(42x)|13

．

【二】:定积分知识点总结

定积分基础知识点与方法总结

1. 知识网络

2.方法总结

(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限

(2)定积分几何意义：

①f(x)dx (f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab

②f(x)dx (f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a

反数

(3)定积分的基本性质：

①kf(x)dx=kf(x)dx aabb

②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa

③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac

(4)求定积分的方法： baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb

①定义法：分割—近似代替—求和—取极限 ②利用定积分几何意义

’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba

【三】:高等数学教学心得3篇

　　在数学教学实践中，数学教师应把对学生学习能力的培养、开发学生智力以及使教学更好地适应学生的心理发展作为重要的教学内容。下面是带来的高等数学教学心得体会，欢迎欣赏阅读。

　　高等数学教学心得一：

　　高等数学是我院财务管理、工程管理、国际贸易、商管等相关专业的基础课，主要讲述了一元函数与多元函数的微积分学，针对不同专业的实际情况，结合“双考大纲”，高等数学又分为《高等数学A》、《高等数学B》、《高等数学C》，充分掌握高等数学的基本知识，对今后专业课的学习，继续深造，从事金融行业、建筑行业以及个人的逻辑思维等方面有很多大帮助。但是这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，知识一环扣一环，结构既有严密的内在联系同时又呈曲线跳跃式发展，对于各高校的学生来说，都是一门难学的课程。因此，在教学过程当中，尽可能的采取灵活多样的教学方法，让学生充分的理解、掌握所学知识。作为一名新入职的教师，一方面很是感激校方对于我的信任，另一方面也深知作为年轻老师教学经验还有待进一步提高，但是我在西北大学现代学院这仅仅半年时间就让我受益匪浅，在这里谈一下自己的感受：

首先要认真备课，仔细撰写教案，上课时要说课，这节课大家需要掌握什么(教学大纲的要求，考试要考的知识)，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂目的，做到有的放矢，同时还要时而去走进其他老师的课堂，认真听听他们的讲课，向有经验

本文来源：https://www.shanpow.com/bg/101669/