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第一篇勾股数组:欧几里得与勾股数组
文 | 马明
古代很多数学家都曾提出过勾股数组的计算公式。
古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)的表达式为
其中n为正整数。
毕达哥拉斯率众迎日出
古希腊著名哲学家柏拉图（Plato，公元前427~前347）的表达式为
其中n为大于1的正整数。
上述每种表达式都可以写出无数组勾股数，但都不能写出所有勾股数组。例如，不能写出（12，16，20）这组勾股数，因为毕氏表达式所得的勾股数中，总有两个相邻的数（b与c相邻）。柏氏表达式所得的勾股数中，总有两个数的差等于2（c-b=2）。
直到公元3世纪，被称为代数学鼻祖的古希腊数学家丢番图（Diophantus，约246~330）才获得较为完善的勾股数组的表达式：
其中m>n，m，n为正整数。
这是大家熟悉且常用的表达式。利用（*）仍然不能算出所有的勾股数组，例如（9，12，15）这组数就不包含在（*）中（不管m，n取什么正整数，这组数是得出来的，请您自己算一下）。尽管如此而已，人们还是对丢番图的结果感兴趣。因为，在（*）的基础上，只要将勾股数组乘以正整数就可以获得一切了。
出人意料的是，在丢番图出生前大约600年左右，几何学鼻祖欧几里得（Euclid，约公元前300年）已发现了勾股数组的另一表达式
其中p，q奇偶性相同，p>q，pq是完全平方数。
而且值得骄傲的是，欧氏结果并不比丢氏结果逊色。因为，只要在（**）中令p=2m2,q=2n2就得（*）。尤为奇怪的是，在（**）中令p=27，q=3，所得的一组勾股数（9，12，15）是不可能从（*）中直接获得的。从这一点上说，（**）较（*）为优。
在（**）中如果令p=2km2，q=2kn2，便得人们熟悉的求勾股组的一般表达式：
其中m>n，m，n，k为正整数。
很有可能，几何学鼻祖欧几里得是用几何方法获得表达式（**）的：如图，以直角三角形ABC的斜边AB为半径，以B点为圆心作半圆（MN为直径）。设AB =c（整数），AC=b（整数），CB=a（整数），则MC=MB+BC=c+a=p（整数），CN=BN-BC=c-a=q（整数）。
解得
而
故b=√pq，仍得（**）。
由（**）进而获得（***），这又增加了（***）的一种证法。
* 马明（1929~2013），著名数学特级教师，数学教育家。关心、了解、研究学生的所思所虑，探索并遵循数学教育规律，上课、写文章，循循善诱，启迪思维。著有《马明数学教育论文集》《节约的数学》等书及大量数学科普文章。多才多艺，钢笔书法曾获全国特等奖。
* 本文摘自《数学阅读精粹（第二册）》，江苏凤凰教育出版社，2016年6月，原载于《时代学习报·数学周刊》。
第二篇勾股数组:[考试]欧几里德与勾股数组
导读：勾股定理是数学发展史上一颗璀璨的明珠。只要是直角三角形，无论形状大小如何变化，其三条边长均满足这么一个简洁优美的关系，真乃妙不可言！众多数学家和数学爱好者对勾股定理青睐有加，也给出了许多精彩的演绎和证明方法，同学们不妨了解一下。文 | 马明古代很多数学家都曾提出过勾股数组的计算公式。古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)的表达式为其中n为正整数。毕达哥拉斯率众迎日出古希腊著名哲学家柏拉图（Plato，公元前427~前347）的表达式为其中n为大于1的正整数。上述每种表达式都可以写出无数组勾股数，但都不能写出所有勾股数组。例如，不能写出（12，16，20）这组勾股数，因为毕氏表达式所得的勾股数中，总有两个相邻的数（b与c相邻）。柏氏表达式所得的勾股数中，总有两个数的差等于2（c-b=2）。直到公元3世纪，被称为代数学鼻祖的古希腊数学家丢番图（Diophantus，约246~330）才获得较为完善的勾股数组的表达式：其中m>n，m，n为正整数。这是大家熟悉且常用的表达式。利用（*）仍然不能算出所有的勾股数组，例如（9，12，15）这组数就不包含在（*）中（不管m，n取什么正整数，这组数是得出来的，请您自己算一下）。尽管如此而已，人们还是对丢番图的结果感兴趣。因为，在（*）的基础上，只要将勾股数组乘以正整数就可以获得一切了。出人意料的是，在丢番图出生前大约600年左右，几何学鼻祖欧几里得（Euclid，约公元前300年）已发现了勾股数组的另一表达式其中p，q奇偶性相同，p>q，pq是完全平方数。而且值得骄傲的是，欧氏结果并不比丢氏结果逊色。因为，只要在（**）中令p=2m2,q=2n2就得（*）。尤为奇怪的是，在（**）中令p=27，q=3，所得的一组勾股数（9，12，15）是不可能从（*）中直接获得的。从这一点上说，（**）较（*）为优。在（**）中如果令p=2km2，q=2kn2，便得人们熟悉的求勾股组的一般表达式：其中m>n，m，n，k为正整数。很有可能，几何学鼻祖欧几里得是用几何方法获得表达式（**）的：如图，以直角三角形ABC的斜边AB为半径，以B点为圆心作半圆（MN为直径）。设AB =c（整数），AC=b（整数），CB=a（整数），则MC=MB+BC=c+a=p（整数），CN=BN-BC=c-a=q（整数）。解得而故b=√pq，仍得（**）。由（**）进而获得（***），这又增加了（***）的一种证法。* 马明（1929~2013），著名数学特级教师，数学教育家。关心、了解、研究学生的所思所虑，探索并遵循数学教育规律，上课、写文章，循循善诱，启迪思维。著有《马明数学教育论文集》《节约的数学》等书及大量数学科普文章。多才多艺，钢笔书法曾获全国特等奖。摘自《时代学习报·数学周刊》。
第三篇勾股数组:数学图形特征分析
本节课接着上节课图形的概念，进一步来了解几个特殊的图形及对应的定理公式。
首先，本节课内容提要：
1 三角形：等腰、等边三角形，特别是直角三角形（勾股定理）。讲解角度和边长的对应关系。
2 四边形：平行四边形、长方形，特别是正方形。讲解对角线及同位角等概念
3 四边形：梯形分解
一、三角形
1、等腰三角形及等边三角形
等腰三角形ABC：两条边AB和AC（腰）长度相等，这两边所对的角度（底角）相等。另外：由顶角∠A向底边做垂线，所得垂线AD的垂足D正好平分底边BC。
也就是说：当三角形是等腰三角形时，由顶角A向底边做垂线AD，垂线AD正好是等腰三角形的所在对称轴上。
图一、等腰三角形（1）
图二、等腰三角形（2）
等边三角形ABC：等边三角形每条边长都相等，角度也都相等。等边三角形是等腰三角形的特殊情况，所以等腰三角形的特性，等边三角形都具有。由上面等腰三角形不难得到，等边三角形的3条高线，都是所在等边三角形的对称轴上。等边三角形有三条对称轴。这三条对称轴（高线）的交于一点，就是等边三角形的中心位置。（关于这个中心位置特点，以后习题会讲到）
图三、等边三角形
2、三角形---直角三角形及勾股定理（重点）
直角三角形：三角形中有一个角是90°。如下图图四中∠B=90°，所以三角形ABC为直角三角形。
图四、直角三角形（1）
（一）勾股定理就是为了发现直角三角形特点而来的：两直角边的的平方和等于斜边的平方。
如上图所示，直角三角形两直角边a和c(即“勾”，“股”)边长的平方之和等于斜边b(即“弦”)边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和c，斜边为b，那么勾股定理的公式为a2+c2=b2 。
勾股定理现发现约有400种证分明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，最著名的是欧几里得证明，如下图图五所示。勾股数组不定方程a2+c2=b2 的正就整数组解为a,b,c。a=3,c=4,b=5就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无穷多组解。
图五、勾股定理--欧几里得证明
（ 二 ）直角三角形的另一特性：它斜边上的中线等于斜边的一半。如下图六所示。
图六，直角三角形（2）
⑴ 题目：（判断对错，并找原因）
1 、有一个三角形边长分别是6cm、8cm、10cm，是直角三角形。（）
2 、有个直角三角形，它的两条直角边长分别是12cm，16cm，求斜边上的中线长度是多少。（）
答案及分析：
1 答案：对，因为62+82=102。符合勾股定理描述，6、8、10也是典型的勾股数组。
2 答案：10cm，根据勾股定理，斜边的平方=122+162=400，得到斜边=20。另外我们可以想到12和16分别是3和4的4倍。根据勾3、股4、弦5，得到斜边正好是5的4倍是20。斜边的中线等于斜边的一半，所以答案应该是10cm。
二、四边形
1平行四边边形：
平行四边形：两组对边平行且相等。特点1：内角∠1+∠4=180°；∠1+∠2=180°；∠1=∠3且∠2=∠4。如下图图七。
图七、平行四边形（1）
平行四边形 特点2:对角线交于一点互相平分。对角线不相等AC≠BD。
图八、平行四边形（2）
2、长方形（矩形）和正方形
长方形：由于长方形是特殊的平行四边形（角度有90°），因此长方形具有上面提到的特性。特别的：长方形的对角线相等AC=BD。
另外地：长方形可分为两个相等的直角三角形，如直角三角形ABC和直角三角形ADC，由于对角线BD被AC平分于P，于是BP是直角三角形ABC斜边AC的中线，所以有：BP=AP=PC,且BP=DP。
图九、长方形
正方形：正方形是特殊的长方形（相邻的边边长相等），长方形的性质正方形都具有。那么正方形本身还有什么特点？
图十、正方形
对，正方形的对角线互相垂直且相等。AC⊥BD。正方形由两个等腰直角三角形构成，由等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADC构成。
特别的：介于普通平行四边形和长方形/正方形中间还有一种平行四边形对角线互相垂直但不相等------就是菱形，邻边相等但不垂直的平行四边形。如图十一所示。
图十一、菱形
⑵题目：（选择题，并解释原因）
1、正方形具备而矩形不一定具备的性质是 （ ） A.四个角是直角 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2、长方形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应 （ ） A．7；8 B.6；7 C.7 ；7 D.10；10
3、对角线垂直相等且相互平分的是 （ ） A.菱形 B.正方形 C.长方形 D.平行四边形
4、对角线垂直且相互平分的是 （ ）（多选题） A.菱形 B.正方形 C.长方形 D.平行四边形
5、对角线相等且相互平分的是 （ ）（多选题） A.菱形 B.正方形 C.长方形 D.平行四边形
6、对角线相互平分的是 （ ）（多选题）
A.菱形 B.梯形 C.长方形 D.平行四边形
答案及分析:
1 D。2 D。3 B。4 AB。5 BC。6 ACD。
3梯形
梯形：1 由平行四边形和三角形构成；或者2由两个梯形构成一个平行四边形。
图十二、梯形
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