【www.shanpow.com--热门范文】
(1) [相似矩阵]《新理解矩阵4》：相似矩阵的那些事儿
原文链接：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1777/
这篇文章估计是这个系列最后一篇了，也许以后会继续谈到线性代数，但是将会独立开来讲述。本文主要讲的是相似矩阵的一些事情，本文的观点很是粗糙，自己感觉都有点模糊，因此请读者细细阅读。在孟岩的文章里头，它对矩阵及其相似有了一个非常精彩的描述：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
上述所有这些同一个线性变换的描述的矩阵互为相似矩阵。孟岩还提到那个相似矩阵的公式可以用一种非常直观的方式来证明，可是就没有后文了。我没有跟他联系过，但是我一直也在寻求这方面的直观理解。在翻阅了许多书籍之后，终于有了一个自己比较满意的答案。也许读者会感到意外的是，促使我得到这个理解的，不是数学著作，而是一本偏向物理的数《群论与量子力学的对称性》。
Part 1
首先来一个比较物理的理解：矩阵A描述了向量x到向量y的一个运动，即y=Ax；但是，这仅仅是在直角坐标系下测量的，在一个新的坐标系P之下，假设测量结果为y′=Bx′。
根据我们在前边给出的矩阵几何理解，在P坐标系下测量的x′，在直角坐标系测量为x，可以表示成Px′=x；同理有Py′=y。代入就得到：Py′=APx′，可以稍稍改成Py′=P(P−1AP)x′，换句话说，在P坐标系下，从x′到y′的运动用矩阵B=P−1AP表示，这就是A的一个相似矩阵！所以说，一族相似矩阵，只不过是同一个线性变换在不同坐标系下的一个测量结果而已。
Part 2
其实，相似矩阵还有一个相对直观的几何立体模型。我们知道一个矩阵A由n个列向量组成，它实际上给出了n维空间的一个n维平行方体（类比二维的平行四边形和三维的平行六面体）。而矩阵I实际上给出了一个n维单位方体。假设他们两个存在某种对应关系。
而矩阵A在新坐标系P下的测量结果为P−1A，即A=P(P−1A)；而I在P的测量结果为I=P(P−1)，也就是说，在新坐标系下，P−1与P−1A具有对应关系。那么新坐标系下的单位方体对应什么呢？那就是P−1→P−1P=IP−1A→P−1AP
也就是说新坐标系下的单位方体对应着相似矩阵所描述的n维方体！
这压根儿就是配对原则嘛！
这就不难理解为什么相似矩阵的行列式值都相同了。行列式的几何意义就是体积，虽然矩阵A代表的立方体经过坐标变换后体积变了，但是单位方体的体积实则也变啦，也就是说，新坐标系下一切标度都变化了，但是从“数格子”的角度来说，格子数目是没有变化的，所以体积也就没有变化了。
伟大的矩阵
在物理学，几乎每一个领域都广泛地用到了矩阵，但是，与矩阵联系最紧密的学科当数量子力学。很多人都知道，量子力学有三种等价表达形式，一种是薛定谔的波动方程（就是我现在学习的），一种是海森堡的矩阵力学，最后一种是天才的费曼的路径积分。话说当年海森堡在构思量子力学时，线性代数这门课程已经发展得很丰富了，但他自己并没有学习到。不过他自己却“发明”了一个自称为“能量表格”的东西，用来作为描述他构思的工具。最后当他把论文提交给导师玻恩时，玻恩毫不客气地跟他说：“你这个新的能量表格，就是数学家早已研究过的矩阵。”呵呵，让人惊讶，矩阵力学的创始人居然不知矩阵为何物。后来海森堡补习了矩阵的知识，并和导师合作发表了矩阵力学的成果。
最近我看量子力学和狭义相对论的内容，发现两者的描述方式其实在很大程度上已经得到了统一，大家都是先讲一下基础知识，然后讲一下线性代数、群论等知识。最后都基本上归结为用矩阵和群论知识来分析了。我想这也是为了物理学统一描述的需要吧。让我觉得一点意外的是，这种综合的抽象模式，反倒让我感觉容易上手了。也许正是因为我是个数学爱好者吧。
最后总结一下我的这几篇《新理解矩阵》
这几篇文章很粗糙、放肆，很不成熟，甚至某些观点不一定正确，因为直观理解会给人一种以偏概全的感觉，忽略掉了抽象的巨大作用。但是我想只有在有了直观认识之后，才可以更熟练地运用它；更加全面的认识，也在这种直观的效果下慢慢感悟，慢慢积累起来的，我想数学史上线性代数知识的发展历程也是相似的，既然如此，我们为什么不按照历史的发展方式来学习它呢？
(2) [相似矩阵]有没有人能用人类的语言告诉我，相似矩阵有什么用？
logo
icon
arrow-down
close
comment
conversations
like
prompt
vote
wechat
verified
best_answerer
verified_and_best_answerer
live_emoji
star
question
article
live
ebook
touch to download
remove
edit answer reward tagline
show rewarders list
arrow right
做论文需要用相似矩阵评估一个聚类模型。我不需要知道其数学原理，只要知道这东西是干什么用的。有人能告诉我么？＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝补充一下，我知道什么是相似矩阵，也知道其各种数学原理，但是我不明白这东西到底有什么用。换句话说，我想知道这东西在现实中能做什么。比如，我去买菜，我可以用多元回归，分析出菜价和汽油价格成正比，那么油价涨了这几天，我知道菜价也会涨。我是想知道这样一个应用
乐享非凡 乐享知识
21 个回答
马同学
看图学数学，公众号：matongxue314
相似矩阵的定义是：
设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ， 使 则称 是 的相似矩阵，或说 和相似。----《线性代数》同济版
我们先说通过人话来说明什么是相似矩阵，然后来看看相似矩阵的几何意义，最后再解释为什么这个代数式就代表了相似矩阵。
1 用人话来解释相似矩阵
今天《速度与激情8》上映了，我坐在第一排看电影：
而你坐在最后一排看电影：
我们看的是同一部电影，但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同（比如清晰度啊、角度啊），所以说，“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。
通过上面的类比，我们可以粗略的说，矩阵是对运动的描述，那么相似矩阵就是对于同一个运动，在不同视角下的描述。
2 相似矩形的几何意义
梵高画下名作向日葵的时候，是不需要计算器和直尺的，有《正在作画梵高自画像》为证：
但是，为了进行代数计算，我需要给这个向量一个坐标，这个坐标取决于使用的是什么基（不同基下的原点是一样的）：
所以，矩阵实际上对应的是同一个变换，只是在不同基下完成的，因此就被称为：相似矩阵。
下面让我们来阐述一下相似矩阵的代数细节，让我们从矩阵的左乘说起。
3 矩阵左乘的几何意义
下面注意保持头脑清醒，我要在基之间搞事情了。
举一个具体的例子进行讲述：
我们这样来计算：
把作为列向量，就可以得到变换矩阵：
同理，我们要把基从变换回，只需要知道在下的坐标就能得到变换矩阵，变换矩阵实际上就是。
综上，我们可以说矩阵的左乘就是“搞基”的：
4 相似矩形代数式的几何解释
理解了矩阵的左乘，再理解相似矩阵的代数式就很简单了。
我们这就来解释下什么是：
为了方便讲解，我们规定是把基从变换到的矩阵，这个规定并不妨碍一般性。
下面的图像都非示意图，是真正根据数学公式计算出来的。
好了，开讲：
左乘：
左乘：
左乘：
所以对于同一个变换，是在下的矩阵，是在下的矩阵。
5 为什么需要相似矩阵
这就好比，在直角坐标系下，圆的方程为：
而在极坐标系下，圆的方程更简单：
同样的，我们在线性代数中，经常利用相似矩阵，在不同的基下，把“难看”的矩阵转为“好看”的矩阵（比如对角矩阵），因为它们的相似性，所以并不会影响研究结果，只会简化计算，并且可以把很多问题转化为已经解决过的问题。TheNewE
眼球自闭症/吃货/深度学习layman/来喝杯coffee吧
建议你看一下孟岩的老三篇《理解矩阵》，还有科学空间版的六篇《新理解矩阵》分割线现在有更好的东西了，b站上3blue1brown的熟肉，线性代数的直观理解App 内打开
一线性变换在另一组基下的表示，则A和B的关系就是A=M-1BM。M就是那组新基 BM表示B对基M做线性变换； M-1左乘一个向量表示将该向量换算成以M为基表现的形势
作为列向量，就可以得到变换矩阵：
同样的，我们在线性代数中，经常利用相似矩阵，在不同的基下，把“难看”的矩阵转为“好看”的矩阵（比如对角矩阵），因为它们的相似性，所以并不会影响研究结果，只会简化计算，并且可以把很多问题转化为已经解决过的问题。","commentCount":118,"extras":"","thanksCount":174,"isCopyable":false,"type":"answer","thumbnail":"https://pic2.zhimg.com/v2-5d538b496caad2811435ebe98d5127e9_200x112.png","isNormal":true}},"answersOffset":2,"questionId":20501504,"answerIds":[174887899,125718680],"restAnswerIds":[],"isLoading":false,"isDrained":false,"isModalOpen":false,"adBanner":null,"appViewFooter":null,"isCommentLoading":false,"commentsByQuestion":{},"commentsByAnswer":{},"relatedLives":{},"isRegisterPanelOpen":false,"video":{},"recommendations":null,"relatedReadings":[],"recommendedContents":[],"settings":{"experiment":{"ge3":"ge3_9","ge2":"ge2_1","nwebStickySidebar":"sticky","homeNweb":"default","favAct":"default","default":"None","newMore":"new","iOSNewestVersion":"3.55.0","qrcodeLogin":"pwd","homeUi2":"default","wechatShareModal":"wechat_share_modal_show","androidProfilePanel":"panel_b","qaStickySidebar":"sticky_sidebar","mobileQaPageProxyHeifetz":"m_qa_page_oldweb","liveStore":"ls_a2_b2_c1_f2","zcmLighting":"zcm"}},"answerRewarders":[],"token":{"xUDID":""}}" data-config="{"apiAddress":"https://www.zhihu.com/api/v4/"}">
(3) [相似矩阵]等价矩阵和相似矩阵的关系_数学_考研论坛（kaoyan.com）
等价矩阵和相似矩阵的关系：问：等价矩阵一定相似，还是相似矩阵一定等价 ？一些回答： 个人认为。等价不一定相似。因为等价矩阵是矩阵通过初等变换过来的。比如A=E通过变换初等变换可以变成B=2E。所以A与B等价。但他们的特征值是不同的。所以不相似。但相似一定等价。至于怎么证明我暂时不知道。 矩阵等价的充要条件是他们的秩相等（这里要区别于向量组等价）而相似的充要条件是存在可逆矩阵P，使得p^(-1)AP=B，必要条件是r(A)=r(B),A的特征值和B相同 总的来说相似必合同，合同必等价 个人认为相似可以推出等价，相似是等价的一种特殊情况 等价秩相等 合同正负惯性指数相同 相似特征值相等 所以 相似 推出合同 推出等价 相似必等价，等价未必相似 相似未必合同（只有当A,B均为实对称矩阵时相似才能推出合同），但相似必等价，等价未必相似。若A与B相似，由相似的定义P^(-1)AP=B,此时可令C=P^(-1),Q=P,则C,Q均可逆，即存在可逆矩阵C,Q使CAQ=B，由等价的定义知A与B等价。总结一下关系应该是这样的：对于矩阵A,B，相似和合同一定能推出等价；若A,B均为实对称矩阵则相似能推出合同；若A,B为实对称矩阵，且在正交变换下A与B合同则能推出相似。等价是限制最少的一种关系。
