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第一篇有限元法:什么是有限元法？
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元法在工程中最主要的应用形式是结构的优化，如结构形状的最优化，结构强度的分析，振动的分析等等。有限元法在超过五十年的发展历史中，解决了大量的工程实际问题，创造了巨大的经济效益。有限元法的出现，使得传统的基于经验的结构设计趋于理性，设计出的产品越来越精细，尤为突出的一点是，产品设计过程的样机试制次数大为减少，产品的可靠性大为提高。压力容器的结构应力分析和形状优化，机床切削过程中的振动分析及减振，汽车试制过程中的碰撞模拟，发动机设计过程中的减振降噪分析，武器设计过程中爆轰过程的模拟、弹头形状的优化等等，都是目前有限元法在工程中典型的应用。
经过半个多世纪的发展和在工程实际中的应用，有限元法被证明是一种行之有效的工程问题的模拟仿真方法，解决了大量的工程实际问题，为工业技术的进步起到了巨大的推动作用。但是有限元法本身并不是一种万能的分析、计算方法，并不适用于所有的工程问题。对于工程中遇到的实际问题，有限元法的使用取决于如下条件：产品实验或制做样机成本太高，实验无法实现，而有限元计算能够有效地模拟出实验效果、达到实验目的，计算成本也远低于实验成本时，有限元法才成为一种有效的选择。
有限元法经过多年的发展，其基本的数值算法都已经固定下来，商业化的软件也超过1000种。在这些大大小小的有限元软件中，其基本的、核心的算法都是一样的，没有太大的不同，甚至很多软件核心部分的代码都是相同的，它们主要的不同表现在一下几个方面：
1. 计算部分的功能强弱不一样。
除了基本的线性分析能力之外，大多数软件都开发了针对各种非线性问题的分析能力，如塑性、蠕变、大位移、大变形、接触分析能力，一些特殊材料模式的处理能力，各种物理场之间的耦合能力，最典型的，如热-结构之间的耦合，流体-结构之间的耦合等等，计算功能的强弱就体现在这些方面。
2. 软件易用性上的不同。这主要体现在建模上。
早期的有限元软件都只是一个计算部分，即求解器，模型是通过数据文件的形式提交的，用户的建模工作就是编写数据文件，工作量相当大。现在的软件一般都有相应的图形界面的建模工具，即前处理器，通过图形方式建模，由软件自动生成计算部分所需的数据文件。到目前为止，仍然有超过70%的软件，其前处理跟求解器之间并不是无缝的，求解器需要的数据文件不能完全由前处理部分生成，缺少的部分仍然需要由用户人工修改、添加。最典型的，如PATRAN和NASTRAN，AUI和ADINA，CAE和ABAQUS，这还是求解器跟各自专用的前处理之间的连接情况，其它兼容的前处理跟求解器之间的连接则问题更多。
前处理建模功能的强弱，这主要反映在复杂模型的建模效率上。通常情况下，有限元软件的前处理建模能力远低于CAD软件的建模能力，为此都开发有针对不同CAD软件的建模接口。CAD软件对模型的要求与有限元软件对模型的要求不同，模型的导入过程实际是一种转换过程，转换质量的高低，各个软件接口是不同的。接口的多少和转换质量也成为评价建模能力的一个重要标志。
3. 用户的二次开发能力。
在求解器提供的标准的分析功能之外，允许用户在一定程度上开发适合自己需要的建模、分析功能，如特殊材料模型，特殊的单元类型，专门针对某一类问题的分析等。绝大部分软件用户都不是真正需要这部分功能，这只是对有特殊需要的用户来说是至关重要的，例如某些研究机构。
4. 历史的因素。
主要是行业和商业上的因素。一些软件在发展过程中，在某一行业占有传统的优势，逐渐沿袭下来，成为一种行业习惯和行业工具，乃至成为事实上的行业标准，并不是因为软件本身的原因。例如NASTRAN在全世界的航空领域，SAP2000在建筑行业，ANSYS在中国的铁路机车行业，ABAQUS在中国的汽车行业，都是一些典型的例子。
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转载一些相关的东西：
[转载]有限元法概述
（原文载于：http://www.blogcn.com/u2/15/26/zuozw/blog/47318674.html）
有限元法概述序言：为了丰富知识和学习，以后将陆续介绍一些新兴学科和交叉学科，让大家对近代科学有大致的了解，起到科普知识学习的目的!由于本人能力有限，介绍的偏重数学，物理，计算机再加少部分化学！希望大家喜欢！这些大部分摘自网上，恕不能一一写出摘自哪里，如有侵权请告诉我！ 有限元法(finite element method)是20世纪60年代出现的一种数值计算方法。最初用于固体力学问题的数值计算，上世纪70年代在英国科学家Zienkiewicz O.C 等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场，电磁场，也包括流场。 有限元法离散方程的获得方法主要有直接刚度法、虚功原理推导、泛函变分原理推导或加权余量法推导。一般采用加权余量法推导。 有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于，按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释。对计算中出现的一些误差也难以进行改进。有限元法，有限差分法和有限体积法的区别有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。 (7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可 以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式 的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步 长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就 是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。 限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制 体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。
计算流体力学（CFD）理论基础概述
2007-05-30 20:32
简而言之，CFD=流体力学＋传热学＋数值分析。众所周知，描写传热、传质问题的微分方程常常是一组复杂的非线性偏分方程。除了某些简单的情形外，很难获得这些偏微分方程。除了某些简单的情形外，很难获得这些偏微分方程的精确解。对于多数有实际意义的传热、传质问题，必须采用实验研究或近似解法。随着高速电子计算机的迅速发展，从本世纪六十年代末期以来，传热问题的数值法很快地发展成为解决实际问题的一种重要工具。数值解法是一种离散近似的计算方法。它所能获得的不像分析解那样是被研究区域中未知量的连续，而只是某些代表性地点（称为节点）上的近似值。电子计算机中的一切计算都是通过加、减、乘、除四则运算来完成的。为了用计算机解出节点上未知量的近似值，首先需要从给定的微分方程或基本物理定律出发，建立起关于这些节点上未知量近似值之间的代数方程（称为离散方程），然后对之进行求解。在传热学中所应用的数值计算方法很多，大多数方法的基本思想可以归结为：把原来在时间、空坐标中连续的物理量的场（如速度场、温度场、浓度场等），用有限个离散点上的值的集合来代替，按一定方式建立起关于这些的值的代数方程并求解之，以获得物理量场的近似解。一个传热问题数值求解的总体步骤大致如图1所示。同一物理问题的不同数值解法间的主要区别，在于子区域的划分与节点的确定、离散方程的建立及其求解这几个步骤上。关于传热学所采用的一些数值求解方法，在文献[1]中有较全面的介绍。其中主要的是有限差分法、有限元法、边界元法及有限分析法。有限元法、边界元法及有限分析法在最近几年中有很大的发展，并已成功地解决了一些流动及对流换热问题。但是，就方法发展成熟的程度、实施的难易及应用的广泛性等方面而言，差分之一类方法仍占相当优势，本书只介绍有限差分法。近年文献中经常使用“有限容积法”这一名词，即有限体积法，它就是将控制方程有限大小的容积作积分以导出离散方程的方法，也属于有限差分法的范畴，是本书主要采用的一种方法。关于其它数值计算方法在传热学中的应用可参阅文献。http://hi.baidu.com/yangms/blog/item/4c563ff3d97eb7ca0b46e06a.html这里要特别说明数值计算与分析解法及实验研究之间的关系。虽然许多复杂传热问题难以得出分析解，但不能因此而忽视分析解的作用。这是因为分析解的结果具有普遍性，各种影响因素清晰可见，同时它为检验数值计算的准确度提供了比较依据。在计算流体力学与计算传热学的发展过程中，每当提出一种分析解的问题，通过与分析解的比较再对该方法的准确性做出评价。此外，有时简单情形下分析解的结果可以为发展新的数值计算方法提供基础。实验研究无疑仍是传热问题最基本的研究方法。任何一种传热现象的基本数据都需要通过实验加以测定，数值计算中所采用的数学的基本数据都需要通过实验加以测定，数值计算中所采用的数学模型只有通过对现象的必要观察与测定才能正确地建立，而数值计算结果的准确性也往往要通过与实测结果的比较才能确认。这里要顺指出对于用计算机计算所得结果的准确度应持的正确认识。任何一个物理问题的数值模拟结果的准确度，首先取决于对所研究物理问题数学模型是否正确。如果所采用的数学模型本身不合适，例如对于有强烈回流的问题采用边界层方程来计算，对于一个三维的问题应用了二维的数学描写。对于一个本质上是非稳态的问题使用了稳态的控制方程等，那么即在数值计算的方法方面作了努力，仍不能提高解的准确度。又例如物理问题的数学描写中常包括一些由实验测得的常数或参数（例如物性数据）。如果对数值计算结果有较大影响的常数或参数的本身有较大的测定误差，那么在数值计算过程过分追求减少数值误差的努力也是没有实用意义的。计算机并不能创造信息、发现规律，它中是把人们所送入的信息按计算者所选定的规律进行处理、加工而已。但另一方面，一旦建立了实际物理问题的合理数学模型，数值计算又可以发挥很大的作用。这是因为，实验的方法常受到一定的限制（如设备与运行的费用，试验的条件等），而数值计算的方法正具有成本低及能模拟较复杂或较理想的工况等优点，它可以拓宽实验研究的范围，减少实验的工作量。从某种意义上说，在特定参数下用计算机进行一次数值计算相当于进行一次试验。历史上也曾有首先通过数值计算发现新现象而由实验证实的例子。总之，由于理论分析、实验研究及数值计算各有其适宜的应用范围，把这三种方法巧妙地接合起来可以收到互相补充、相得益彰的作用。可以认为，在科学技术发展到今天的阶段，把实验测定、理论分析与数值计算有机而协调地结合起来方法，是研究传热问题的理想而有效的手——摘自《数值传热学》
http://tsing_iceground.tianyablog.com/blogger/post_show.asp?BlogID=442581&PostID=7931822&idWriter=0&Key=0
找到大牛lakewater 顺便转点东西
作者：qingerchun 提交日期：2006-12-24 11:37:00
转载，总结得很好，应该有所帮助，应该常看看。1. FDM1.1 概念 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 1.2 差分格式 （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 1.3 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2. FEM 2.1 概述 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。2.2 原理 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。 （1）从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法； （2）从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格； （3）从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。 不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。 对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。 有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。2.3 基本原理与解题步骤 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为： (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 (3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。 (4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。 (5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。 (6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。 (7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。3. 有限体积法 有限体积法（FiniteVolumeMethod）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。4. 比较分析有限差分法（FDM）:直观，理论成熟，精度可眩但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用FDM的好处在于易于编程，易于并行。有限元方法（FEM）:适合处理复杂区域，精度可眩缺憾在于内存和计算量巨大。并行不如FDM和FVM直观。不过FEM的并行是当前和将来应用的一个不错的方向。有限容积法:适于流体计算，可以应用于不规则网格，适于并行。但是精度基本上只能是二阶了。FVM的优势正逐渐显现出来，FVM在应力应变，高频电磁场方面的特殊的优点正在被人重视。比较一下：有限容积法和有限差分法：一个区别就是有限容积法的截差是不定的（跟取的相邻点有关，积分方法离散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法离散方程）。有限容积法和有限差分法最本质的区别是，前者是根据积分方程推导出来的（即对每个控制体积分），后者直接根据微分方程推导出来，所以前者的精度不但取决于积分时的精度，还取决与对导数处理的精度，一般有限容积法总体的精度为二阶，因为积分的精度限制，当然有限容积法对于守恒型方程导出的离散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程导出，不涉及积分过程，各种导数的微分借助Taylor展开，直接写出离散方程，当然不一定有守恒性，精度也和有限容积法不一样，一般有限差分法可以使精度更高一些。当然二者有联系，有时导出的形式一样，但是概念上是不一样的。至于有限容积法和有限元相比，有限元在复杂区域的适应性对有限容积是毫无优势可言的，至于有限容积的守恒性，物理概念明显的这些特点，有限元是没有的。目前有限容积在精度方面与有限元法有些差距。有限元方法比有限差分优越的方面主要在能适应不规则区域，但是这只是指的是传统意义上的有限差分，现在发展的一些有限差分已经能适应不规则区域。对于椭圆型方程，如果区域规则，传统有限差分和有限元都能解，在求解效率，这里主要指编程负责度和收敛快慢、内存需要，肯定有限差分有优势。
第二篇有限元法:有限元方法
求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。 作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为“单元”，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为“有限元空间”,它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。 典型问题 为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程, (1) 变系数 β表示介质不均匀。物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。与方程(1)相配的有如下三类边界条件： 第一类：； 第二类：； 第三类：。这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当 α=0时的特例。 为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件, (2) , (3)β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件, (4)及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。 变分原理 与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。构造“能量积分” 并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即, (6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事实上，极小能量原理之类的变分原理是物理问题的原始形式，微分方程是数学推导的结果。在变分问题中,只有边界条件(2)是强加到容许函数集上的,边界条件(3)及间断介质的接触条件(4)都是极小解u自然满足的，这种情况有利于离散化的统一处理。 剖分逼近 几何剖分的基本单元可取为三角形、矩形、四边形、曲边形等等，其中三角形最基本常用。 假定问题的求解区域为多边形，介质间断线为折线，作三角剖分如图所示。在剖分中需注意介质间断线与某些三角形的边重合，不同类边界条件的交点与某些三角形的顶点重合。单元的顶点称为网格结点，在дΩ上称边界结点，在Ω内称内结点。 几何剖分之后考虑插值逼近。对三角形单元最简单的是线性插值，即利用每个单元Δk三顶点的函数值确定线性函数αkx+bky+сk的三个系数。 把所有单元{Δk}确定的{αkx+bky+сk}合在一起,就得到Ω上的一个分片线性插值函数。Г0上的边界结点取值为零的分片线性插值函数都属于问题(5)、(6)的容许函数集V,全体这样的函数构成一个有限维线性空间，称为有限元空间。假定内结点和Г1上的边界结点共有N个，以pj(j=1,…,N)表示,则的维数就是No 令φi表示中满足条件 (7)的成员，则{φi}构成线性空间的一组基。中任意函数v，都可表为, (8)Vj是结点pj上的函数值v(pj)。 单元上的插值方式除了用一次函数外，还可以用二次、三次或更高次的多项式，也可用非多项式函数。插值数据除了用函数值的拉格朗日型外，还可以是包括导数的埃尔米特型插值。种种的几何剖分加上种种的插值方式,就产生众多形式的有限元空间,使有限元方法可有众多的选择。 有限元的离散化 有限元离散化的出发点是与微分方程等价的变分问题。对于典型问题来说，就是从(5)、(6)出发,用剖分逼近的方法构造有限元空间（也称试探函数空间），然后求泛函J(v)在中的极小解堚 作为近似解,即堚满足, (9)把(8)的表达公式代入(5)中的J(v)，得, (10)式中, (11) , (12)把(9)的极小解表为,则(U1,U2,…,UN)使二次函数(10)达到极小,由微分学知满足线性方程组。 (13)方程组(13)来自正定二次函数的极小解问题，故系数矩阵一定对称正定。由于基函数φi只在以pi为顶点的单元上不为零，故系数αij=只当结点pi与pj连成三角形一边时才不为零。系数矩阵这种稀疏性质，加上对称正定，对方程的求解很有利。 系数以及自由项的实际计算，通常按所谓单元分析与总体合成的方式进行。即逐个分析Ω内的单元和Г1上的单元边对有关的 αiz及?i的贡献，然后往上迭加。当Ω内所有单元及Г1上所有单元边都分析之后，方程组(13)的系数矩阵及自由项也就合成出来。间断介质的影响反映在单元分析中被积函数的β在Ω+及Ω-取不同的表达式。单元分析通常都采用某种数值积分公式计算。 从虚功原理出发的离散化 微分方程边值问题 (1)、(2)、(3)、(4)的解u还同时满足:对容许函数集V中任一函数v，成立, (14)这里α(u，v)及F(v)即表达式(11)、(12)。在物理学中，方程（14）是另一变分原理的数学形式，称为虚功原理或虚位移原理。有限元方法更一般的形式是从虚功方程(14)出发用剖分插值的方式构造一个试探函数空间，并同时构造一个检验函数空间徰;在中寻找近似解堚,使之对徰中的任一函数ψ，成立, (15)当选取徰与相同时, (15)中的ψ可选为基函数φi，同时用代入，就得到方程组(13)。 对于非自共轭椭圆算子L,微分方程边值问题Lu=?不存在等价的极小值问题，但这时仍可建立虚功方程(14)，其中α(u,v)=(Lu，v)F)=(?，v),(·,·)表示L2(Ω)的内积。因此，有限元方法仍然有效。 从极小能量原理出发进行离散化又常称为里茨法，从虚功原理出发称为加廖金法。后者是前者的推广。 评价 传统的里茨－加廖金方法,采取解析函数作为试探函数,不能满足任意多边形区域的边界条件,也不适应间断介质的要求，对现在的典型例子无能为力。差分方法虽然能够对付,但由于它对方程(1)及条件(2)、(3)、(4)在处理上不统一,在计算效果及理论分析两方面都带来不利。有限元方法正好对这两者扬长避短，一方面保持了里茨－加廖金方法从变分原理出发的优点,在提法上有极大的概括性，给离散化带来统一处理的方便；另一方面又吸收了差分法剖分逼近的优点，能灵活适应各种几何形状和间断介质等复杂情况。有限元方法除了解题效能高强外，还有牢靠的理论基础，是计算数学理论一大成就。 回顾与展望 有限元方法在中国与西方从不同的实践背景，沿着不同的学术道路、各自独立平行地发展起来。在西方，有限元思想在R.库朗1943年的一篇论文中明确地提出过，但一直没有受到重视。20世纪50年代中期，欧美工程界J.H.阿吉里斯、R.W.克拉夫等以航空工程为背景，在结构分析和矩阵方法基础上提出了结构有限元的雏形。60年代初期，引进连续体的单元剖分；60年代中期，逐渐明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方数学家对有限元法进行数学的理论分析，开始了有限元法在计算数学中的黄金时代。 在中国，60年代初期，冯康、黄鸿慈等结合解决一系列大型水坝建设的应力分析问题，开展了椭圆型边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂性,把能量法与差分法结合在一起,于1964年建立了求解椭圆型边值问题一套普遍有效的方法，命名为基于变分原理的差分方法，即通称的有限元方法。与此同时,建立了方法的数学理论基础。而后20年中,周天孝、唐立民对混合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发展，冯康等对边界有限元的发展，石钟慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展，都作了重要贡献。 有限元方法对于定常态问题的计算已经获得公认的巨大成功，对不定常态问题也有良好开展。有限元方法是一个发展着的体系，在前述的基本原则下可有种种变化和发展，特别是可和其他方法结合起来，进一步解决更困难更复杂的数学问题。 参考书目 冯康、石钟慈著：《弹性结构的数学理论》，科学出版社，北京，1981。 G.斯特朗、G.J.菲克斯同著,崔俊芝、宫著铭译:《有限元分析》，科学出版社，北京，1983。(G.Strang and G.J.Fix,An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973.) P.G.Ciarlet,The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978. O.C.Zienkiewicz,The Finite Element Method,3rded.,McGraw-Hill, London, 1977.
第三篇有限元法:有限元法—搜狗百科
步骤1：剖分:
将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点（或结点）。
步骤2：单元分析:
进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数。
步骤3：求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。
有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。
50年代末60年代初，中国的计算数学刚起步不久，在对外隔绝的情况下，冯康带领一个小组的科技人员走出了从实践到理论，再从理论到实践的发展中国计算数学的成功之路。当时的研究解决了大量的有关工程设计应力分析的大型椭圆方程计算问题，积累了丰富而有效的经验。冯康对此加以总结提高，作出了系统的理论结果。1965年冯康在《应用数学与计算数学》上发表的论文《基于变分原理的差分格式》，是中国独立于西方系统地创始了有限元法的标志。
